Question

¿Cuántas ternas ordenadas $(a,b,c)$ de números reales no nulos tienen la propiedad de que cada número es el producto de los otros dos?

How many ordered triples $(a,b,c)$ of nonzero real numbers have the property that each number is the product of the other two?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones sign patterns product

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Traduce la condición en $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$

Translate the condition into $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$

Pista grande:

Multiplica las ecuaciones y usa la condición de que los números son no nulos para determinar sus magnitudes posibles

Multiply the equations and use the nonzero condition to determine the possible magnitudes

Solución:

Al multiplicar $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$ obtenemos $abc=(abc)^2.$ Como ninguna variable es cero, $abc=1.$ Además, $abc=a^2=b^2=c^2,$ así que cada variable es $1$ o $-1.$ Para que el producto sea $1,$ puede no haber signos negativos o puede haber exactamente dos, lo que da $1+3=4$ ternas ordenadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$ gives $abc=(abc)^2.$ Since none of the variables is zero, $abc=1.$ Also $abc=a^2=b^2=c^2,$ so each variable is $1$ or $-1.$ Product $1$ allows either no negative signs or exactly two, giving $1+3=4$ ordered triples.

Thus the correct answer is D.

1987 AMC 12 Problema 10

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años