1977 AMC 12 Problema 10

Intenta el Problema 10 del 1977 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1977 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Si $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0,$ entonces $a_7+a_6+\cdots+a_0$ es igual a

If $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0,$ then $a_7+a_6+\cdots+a_0$ equals

$0$

$1$

$64$

$-64$

$128$

Respuesta: E

Conceptos:polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

La suma de los coeficientes de un polinomio se obtiene evaluándolo en un valor particular

A polynomial’s coefficient sum is obtained by evaluating it at a particular input

Pista grande:

Sustituye $x=1$ en la identidad dada

Substitute $x=1$ into the given identity

Solución:

Al tomar $x=1,$ el lado derecho se convierte en la suma de coeficientes buscada. Por lo tanto, $\begin{aligned} a_7+a_6+\cdots+a_0 &=(3\cdot1-1)^7\\ &=2^7=128. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Setting $x=1$ makes the right side the desired coefficient sum. Thus $\begin{aligned} a_7+a_6+\cdots+a_0 &=(3\cdot1-1)^7\\ &=2^7=128. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

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