Question

Sea $F=0.4818181\ldots$ un decimal periódico infinito en el que se repiten los dígitos $8$ y $1.$ Cuando $F$ se escribe como fracción irreducible, el denominador excede al numerador en:

Let $F=0.4818181\ldots$ be an infinite repeating decimal with the digits $8$ and $1$ repeating. When $F$ is written as a fraction in lowest terms, the denominator exceeds the numerator by:

$13$

$14$

$29$

$57$

$126$

Respuesta: D

Conceptos:decimal periódico sucesión geométrica fracción

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Separa el $0.4$ inicial de la parte periódica

Separate the initial $0.4$ from the repeating tail

Pista grande:

La parte periódica es $0.081(1+0.01+0.01^2+\cdots)$

The tail is $0.081(1+0.01+0.01^2+\cdots)$

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} F&=0.4+0.081(1+0.01+\cdots)\\ &=\frac25+\frac{0.081}{0.99}\\ &=\frac25+\frac9{110}\\ &=\frac{53}{110}. \end{aligned}$ El denominador excede al numerador en $110-53=57.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} F&=0.4+0.081(1+0.01+\cdots)\\ &=\frac25+\frac{0.081}{0.99}\\ &=\frac25+\frac9{110}\\ &=\frac{53}{110}. \end{aligned}$ The denominator exceeds the numerator by $110-53=57.$

Therefore, the correct answer is D.

1970 AMC 12 Problema 10

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años