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1989 AMC 12 Problema 10

Intenta el Problema 10 del 1989 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1989 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Considera la sucesión definida por u1=au_1=a (cualquier número positivo) y un+1=−1un+1,u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1}, n=1,n=1, 2,2, 3,3, ….\ldots. ¿Para cuál valor de nn debe cumplirse un=au_n=a?

Consider the sequence defined recursively by u1=au_1=a (any positive number), and un+1=−1un+1,u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1}, n=1,n=1, 2,2, 3,3, ….\ldots. For which of the following values of nn must un=a?u_n=a?

1414

1515

1616

1717

1818

Respuesta: C
Conceptos:recursiónreconocimiento de patronesecuación racional
Nivel de dificultad: 1770
Pista pequeña:

Calcula simbólicamente u2,u3,u_2,u_3, y u4u_4

Compute u2,u3,u_2,u_3, and u4u_4 symbolically

Pista grande:

Busca el período de x↦−1x+1x\mapsto-\frac{1}{x+1}

Look for the period of the transformation x↦−1x+1x\mapsto-\frac{1}{x+1}

Solución:

La sustitución directa da u2=−1a+1,u3=−a+1a,u4=a. \begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned} La sucesión se repite cada 33 términos, así que un=au_n=a cuando n≡1(mod3).n\equiv1\pmod3. Entre las opciones, solo 1616 tiene esa forma.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Direct substitution gives u2=−1a+1,u3=−a+1a,u4=a. \begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned} The sequence therefore repeats every 33 terms, so un=au_n=a whenever n≡1(mod3).n\equiv1\pmod3. Among the choices, only 1616 has that form.

Thus the correct answer is C.

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