Question

Los números reales positivos $x$ y $y$ satisfacen $y^3=x^2$ y $(y-x)^2=4y^2.$ ¿Cuánto vale $x+y$ ?

Positive real numbers $x$ and $y$ satisfy $y^3=x^2$ and $(y-x)^2=4y^2.$ What is $x+y?$

$12$

$18$

$24$

$36$

$42$

Al tomar raíces cuadradas, $y-x=\pm 2y$

Taking square roots, $y-x=\pm 2y$

La positividad descarta un signo y obliga a $x=3y;$ sustituye en $y^3=x^2$

Positivity rules out one sign and forces $x=3y;$ substitute into $y^3=x^2$

De $(y-x)^2=4y^2$ obtenemos $y-x=\pm 2y.$ La opción $y-x=2y$ da $x=-y\lt 0,$ imposible, así que $y-x=-2y,$ es decir $x=3y.$

Sustituyendo en $y^3=x^2=9y^2$ se obtiene $y=9,$ de donde $x=27$ y $x+y=36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $(y-x)^2=4y^2$ we get $y-x=\pm 2y.$ The choice $y-x=2y$ gives $x=-y\lt 0,$ impossible, so $y-x=-2y,$ meaning $x=3y.$

Substituting into $y^3=x^2=9y^2$ gives $y=9,$ hence $x=27$ and $x+y=36.$

Thus, the correct answer is D.