Question

Alex tiene $75$ fichas rojas y $75$ fichas azules. Hay un puesto donde Alex puede entregar dos fichas rojas y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha azul, y otro puesto donde Alex puede entregar tres fichas azules y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha roja. Alex sigue intercambiando fichas hasta que ya no sea posible ningún intercambio. ¿Cuántas fichas plateadas tendrá Alex al final?

Alex has $75$ red tokens and $75$ blue tokens. There is a booth where Alex can give two red tokens and receive in return a silver token and a blue token, and another booth where Alex can give three blue tokens and receive in return a silver token and a red token. Alex continues to exchange tokens until no more exchanges are possible. How many silver tokens will Alex have at the end?

$62$

$82$

$83$

$102$

$103$

Solución:

Después de $m$ intercambios en el puesto de rojas y $n$ en el de azules, Alex tiene $75 - (2m - n)$ fichas rojas, $75 - (3n - m)$ fichas azules y $m + n$ fichas plateadas. Los intercambios son imposibles exactamente cuando $2m - n \ge 74$ y $3n - m \ge 73.$ La igualdad se alcanza en $(m, n) = (59, 44),$ lo que da $59 + 44 = 103$ fichas plateadas. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After $m$ red-booth and $n$ blue-booth exchanges, Alex has $75 - (2m - n)$ red tokens, $75 - (3n - m)$ blue tokens, and $m + n$ silver tokens. Exchanges are impossible exactly when $2m - n \ge 74$ and $3n - m \ge 73.$ Equality holds at $(m, n) = (59, 44),$ giving $59 + 44 = 103$ silver tokens. Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años