Question

Alex tiene $75$ fichas rojas y $75$ fichas azules. Hay un puesto donde Alex puede entregar dos fichas rojas y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha azul, y otro puesto donde Alex puede entregar tres fichas azules y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha roja. Alex sigue intercambiando fichas hasta que ya no sea posible ningún intercambio. ¿Cuántas fichas plateadas tendrá Alex al final?

Alex has $75$ red tokens and $75$ blue tokens. There is a booth where Alex can give two red tokens and receive in return a silver token and a blue token, and another booth where Alex can give three blue tokens and receive in return a silver token and a red token. Alex continues to exchange tokens until no more exchanges are possible. How many silver tokens will Alex have at the end?

$62$

$82$

$83$

$102$

$103$

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones invariante

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Después de $m$ intercambios en el primer puesto y $n$ en el segundo, Alex tiene $75-(2m-n)$ fichas rojas y $75-(3n-m)$ fichas azules.

After $m$ exchanges at the first booth and $n$ at the second, Alex has $75-(2m-n)$ red and $75-(3n-m)$ blue tokens

Pista grande:

Los intercambios se detienen cuando quedan menos de $2$ rojas y menos de $3$ azules; el número de plateadas es $m+n$ .

Exchanges stop when fewer than $2$ red and fewer than $3$ blue remain; the silver count is $m+n$

Solución:

Después de $m$ intercambios en el puesto rojo y $n$ en el azul, Alex tiene $75 - (2m - n)$ fichas rojas, $75-(3n-m)$ fichas azules y $m+n$ fichas plateadas. Al terminar, la cantidad roja es $0$ o $1,$ y la azul es $0,1,$ o $2.$ Resolver las ecuaciones en estos seis casos deja solo $(m,n)=(59,44),$ con estado final $(1,2),$ o $(m,n)=(60,45),$ con estado final $(0,0).$ Este último es inalcanzable: su intercambio final tendría que comenzar en $(-1,3)$ o $(2,-1).$ Por tanto, Alex termina con $59+44=103$ fichas plateadas. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After $m$ red-booth and $n$ blue-booth exchanges, Alex has $75 - (2m - n)$ red tokens, $75-(3n-m)$ blue tokens, and $m+n$ silver tokens. At termination the red count is $0$ or $1,$ and the blue count is $0,1,$ or $2.$ Solving the token equations over these six cases leaves only $(m,n)=(59,44),$ ending at $(1,2),$ or $(m,n)=(60,45),$ ending at $(0,0).$ The latter is unreachable: its final exchange would have to start at either $(-1,3)$ or $(2,-1).$ Hence Alex finishes with $59+44=103$ silver tokens. Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12B Problema 10

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años