Question

¿Cuántos triángulos no congruentes de lados enteros, con área positiva y perímetro menor que $15$ , no son equiláteros, ni isósceles, ni rectángulos?

How many noncongruent integer-sided triangles with positive area and perimeter less than $15$ are neither equilateral, isosceles, nor right triangles?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Solución:

Sean los lados distintos $a \lt b \lt c.$ Como $a + b \gt c,$ el perímetro supera $2c,$ así que $2c \lt 15$ y $c \le 6.$

Las ternas escalenas con perímetro menor que $15$ son $(6,5,3),$ $(6,5,2),$ $(6,4,3),$ $(5,4,3),$ $(5,4,2),$ y $(4,3,2).$ De estas, solo $(5,4,3)$ es un triángulo rectángulo, dejando $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the distinct sides be $a \lt b \lt c.$ Since $a + b \gt c,$ the perimeter exceeds $2c,$ so $2c \lt 15$ and $c \le 6.$

The scalene triples with perimeter less than $15$ are $(6,5,3),$ $(6,5,2),$ $(6,4,3),$ $(5,4,3),$ $(5,4,2),$ and $(4,3,2).$ Of these, only $(5,4,3)$ is a right triangle, leaving $5.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años