Question

Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son $p,$ $9,$ $3p-q,$ y $3p+q.$ ¿Cuál es el término $2010$ de esta sucesión?

The first four terms of an arithmetic sequence are $p,$ $9,$ $3p-q,$ and $3p+q.$ What is the $2010$ th term of this sequence?

$8041$

$8043$

$8045$

$8047$

$8049$

Los términos consecutivos difieren en una diferencia común $d.$ De los dos últimos términos, $d=(3p+q)-(3p-q)=2q.$

De los dos primeros términos, $9-p=d=2q,$ y del segundo y el tercero, $(3p-q)-9=d=2q.$ Resolviendo este sistema se obtiene $p=5,$ $q=2,$ y $d=4.$

El término $2010$ es $\begin{aligned} p+2009d &= 5+2009\cdot4 \\ &= 8041. \end{aligned}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Consecutive terms differ by a common difference $d.$ From the last two terms, $d=(3p+q)-(3p-q)=2q.$

From the first two terms, $9-p=d=2q,$ and from the second and third, $(3p-q)-9=d=2q.$ Solving this system gives $p=5,$ $q=2,$ and $d=4.$

The $2010$ th term is $\begin{aligned} p+2009d &= 5+2009\cdot4 \\ &= 8041. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.