Question

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $t$ entre $0$ y $360$ tales que el triángulo en el plano de coordenadas cuyos vértices son $(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\$ $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),$ y $\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)$ es isósceles?

What is the sum of all possible values of $t$ between $0$ and $360$ such that the triangle in the coordinate plane whose vertices are $(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\$ $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),$ and $\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)$ is isosceles?

$100$

$150$

$330$

$360$

$380$

Solución:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario en los ángulos $40^\circ,$ $60^\circ,$ y $t^\circ.$ La longitud de una cuerda depende solo de la separación angular de sus extremos.

Si el tercer punto es equidistante de los otros dos, está sobre la mediatriz: $t = 50$ o $t = 230.$

Si su distancia a $40^\circ$ es igual a la cuerda fija (separación $20^\circ$ ), entonces $t = 20$ (ya que $t = 60$ es degenerado). Si su distancia a $60^\circ$ coincide, entonces $t = 80$ (ya que $t = 40$ es degenerado).

Los valores válidos son $50, 230, 20, 80,$ que suman $380.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The three points lie on the unit circle at angles $40^\circ,$ $60^\circ,$ and $t^\circ.$ A chord's length depends only on the angular separation of its endpoints.

If the third point is equidistant from the other two, it lies on the perpendicular bisector: $t = 50$ or $t = 230.$

If its distance to $40^\circ$ equals the fixed chord (separation $20^\circ$ ), then $t = 20$ (since $t = 60$ is degenerate). If its distance to $60^\circ$ matches, then $t = 80$ (since $t = 40$ is degenerate).

The valid values are $50, 230, 20, 80,$ summing to $380.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Fall Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años