Question

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $t$ entre $0$ y $360$ tales que el triángulo en el plano de coordenadas cuyos vértices son $(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\$ $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),$ y $\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)$ es isósceles?

What is the sum of all possible values of $t$ between $0$ and $360$ such that the triangle in the coordinate plane whose vertices are $(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\$ $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),$ and $\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)$ is isosceles?

$100$

$150$

$330$

$360$

$380$

Respuesta: E

Conceptos:círculo cuerda triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario, así que lados iguales significan cuerdas iguales, es decir, separaciones de arco iguales.

All three points lie on the unit circle, so equal sides mean equal chords, i.e. equal arc separations

Pista grande:

Considera los tres casos en que el tercer punto iguala la distancia a $A,$ a $B,$ o está sobre su mediatriz.

Consider the three cases where the third point matches distance to $A,$ to $B,$ or lies on their perpendicular bisector

Solución:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario en los ángulos $40^\circ,$ $60^\circ,$ y $t^\circ.$ La longitud de una cuerda depende solo de la separación angular de sus extremos.

Si el tercer punto es equidistante de los otros dos, está sobre la mediatriz: $t = 50$ o $t = 230.$

Si su distancia a $40^\circ$ es igual a la cuerda fija (separación $20^\circ$ ), entonces $t = 20$ (ya que $t = 60$ es degenerado). Si su distancia a $60^\circ$ coincide, entonces $t = 80$ (ya que $t = 40$ es degenerado).

Los valores válidos son $50, 230, 20, 80,$ que suman $380.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The three points lie on the unit circle at angles $40^\circ,$ $60^\circ,$ and $t^\circ.$ A chord’s length depends only on the angular separation of its endpoints.

If the third point is equidistant from the other two, it lies on the perpendicular bisector: $t = 50$ or $t = 230.$

If its distance to $40^\circ$ equals the fixed chord (separation $20^\circ$ ), then $t = 20$ (since $t = 60$ is degenerate). If its distance to $60^\circ$ matches, then $t = 80$ (since $t = 40$ is degenerate).

The valid values are $50, 230, 20, 80,$ summing to $380.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Fall Problema 10

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años