Question

Una lanza $6$ dados estándar de $6$ caras simultáneamente y calcula el producto de los $6$ números obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea divisible entre $4$ ?

Una rolls $6$ standard $6$ -sided dice simultaneously and calculates the product of the $6$ numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by $4?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{57}{64}$

$\dfrac{59}{64}$

$\dfrac{187}{192}$

$\dfrac{63}{64}$

Solución:

El producto no es divisible entre $4$ cuando tiene a lo sumo un factor de $2.$ Cada dado es impar con probabilidad $\tfrac12,$ aporta exactamente un factor de $2$ (un $2$ o un $6$ ) con probabilidad $\tfrac13,$ y dos factores (un $4$ ) con probabilidad $\tfrac16.$

Los seis impares: $\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.$ Exactamente un dado un $2$ o un $6$ y el resto impares: $6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.$

El complemento es $\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},$ así que la respuesta es $1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The product fails to be divisible by $4$ when it has at most one factor of $2.$ Each die is odd with probability $\tfrac12,$ contributes exactly one factor of $2$ (a $2$ or $6$ ) with probability $\tfrac13,$ and two factors (a $4$ ) with probability $\tfrac16.$

All six odd: $\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.$ Exactly one die a $2$ or $6$ and the rest odd: $6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.$

The complement is $\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},$ so the answer is $1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años