Question

El triángulo $ABC$ es equilátero con $AB = 1$ . Los puntos $E$ y $G$ están en $\overline{AC}$ y los puntos $D$ y $F$ están en $\overline{AB}$ , de modo que tanto $\overline{DE}$ como $\overline{FG}$ son paralelos a $\overline{BC}$ . Además, el triángulo $ADE$ y los trapecios $DFGE$ y $FBCG$ tienen todos el mismo perímetro. ¿Cuánto vale $DE + FG$ ?

Triangle $ABC$ is equilateral with $AB = 1.$ Points $E$ and $G$ are on $\overline{AC}$ and points $D$ and $F$ are on $\overline{AB}$ such that both $\overline{DE}$ and $\overline{FG}$ are parallel to $\overline{BC}.$ Furthermore, triangle $ADE$ and trapezoids $DFGE$ and $FBCG$ all have the same perimeter. What is $DE + FG?$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{21}{13}$

$\dfrac{13}{8}$

$\dfrac{5}{3}$

Solución:

Sean $x = DE$ e $y = FG$ . Los cortes paralelos hacen que las regiones pequeñas sean triángulos equiláteros o trapecios isósceles, así que los perímetros son $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}$

Igualándolos, $3x = 3y - x$ da $4x = 3y$ , y $3x = 3 - y$ . Resolviendo se obtiene $x = \tfrac{9}{13}$ e $y = \tfrac{12}{13}$ , así que $DE + FG = \tfrac{21}{13}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $x = DE$ and $y = FG.$ The parallel cuts make the small regions equilateral or isosceles trapezoids, so the perimeters are $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}$

Setting them equal, $3x = 3y - x$ gives $4x = 3y,$ and $3x = 3 - y.$ Solving yields $x = \tfrac{9}{13}$ and $y = \tfrac{12}{13},$ so $DE + FG = \tfrac{21}{13}.$

Thus, the correct answer is C.

2013 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años