Question

Una sucesión finita de enteros de tres dígitos tiene la propiedad de que las cifras de las decenas y de las unidades de cada término son, respectivamente, las cifras de las centenas y de las decenas del término siguiente, y las cifras de las decenas y de las unidades del último término son, respectivamente, las cifras de las centenas y de las decenas del primer término. Por ejemplo, tal sucesión podría comenzar con los términos $247,$ $475,$ y $756$ y terminar con el término $824.$ Sea $S$ la suma de todos los términos de la sucesión. ¿Cuál es el mayor número primo que siempre divide a $S$ ?

A finite sequence of three-digit integers has the property that the tens and units digits of each term are, respectively, the hundreds and tens digits of the next term, and the tens and units digits of the last term are, respectively, the hundreds and tens digits of the first term. For example, such a sequence might begin with terms $247,$ $475,$ and $756$ and end with the term $824.$ Let $S$ be the sum of all the terms in the sequence. What is the largest prime number that always divides $S?$

$3$

$7$

$13$

$37$

$43$

Solución:

Debido a la propiedad cíclica, cada dígito que aparece se usa el mismo número de veces en las posiciones de las centenas, las decenas y las unidades.

Sea $k$ la suma de las cifras de las unidades sobre todos los términos. Entonces $S=100k+10k+k=111k$ $=3\cdot 37\cdot k.$

Así que $S$ siempre es divisible entre $37.$ No tiene por qué ser divisible entre nada mayor: la sucesión $123,231,312$ da $S=666=2\cdot 3^2\cdot 37.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because of the cycling property, each digit that appears is used the same number of times in the hundreds, tens, and units places.

Let $k$ be the sum of the units digits over all terms. Then $S=100k+10k+k=111k$ $=3\cdot 37\cdot k.$

So $S$ is always divisible by $37.$ It need not be divisible by anything larger: the sequence $123,231,312$ gives $S=666=2\cdot 3^2\cdot 37.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años