Question

Los círculos $A,$ $B,$ y $C$ tienen cada uno radio $1.$ Los círculos $A$ y $B$ comparten un punto de tangencia. El círculo $C$ tiene un punto de tangencia con el punto medio de $\overline{AB}.$ ¿Cuál es el área dentro del círculo $C$ pero fuera del círculo $A$ y del círculo $B$ ?

Circles $A,$ $B,$ and $C$ each have radius $1.$ Circles $A$ and $B$ share one point of tangency. Circle $C$ has a point of tangency with the midpoint of $\overline{AB}.$ What is the area inside circle $C$ but outside circle $A$ and circle $B?$

$3 - \dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$1 + \dfrac{\pi}{2}$

Solución:

Coloca $A = (-1, 0),$ $B = (1, 0),$ de modo que su punto de tangencia es el origen, el punto medio de $\overline{AB}.$ Entonces $C = (0, 1),$ ya que $C$ pasa por el origen.

La distancia de $C$ a $A$ (y a $B$ ) es $\sqrt2.$ Dos círculos unitarios cuyos centros están a $\sqrt2$ de distancia se superponen en una lente de área $\begin{gathered} 2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right) \\ {}- \tfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{4 - 2} \\ = 2 \cdot \tfrac{\pi}{4} - 1 = \tfrac{\pi}{2} - 1. \end{gathered}$

Los círculos $A$ y $B$ se encuentran solo en el origen, así que las dos lentes no se superponen. El área buscada es $\pi - 2\left(\tfrac{\pi}{2} - 1\right) = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place $A = (-1, 0),$ $B = (1, 0),$ so their tangency point is the origin, the midpoint of $\overline{AB}.$ Then $C = (0, 1),$ since $C$ passes through the origin.

The distance from $C$ to $A$ (and to $B$ ) is $\sqrt2.$ Two unit circles whose centers are $\sqrt2$ apart overlap in a lens of area $\begin{gathered} 2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right) \\ {}- \tfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{4 - 2} \\ = 2 \cdot \tfrac{\pi}{4} - 1 = \tfrac{\pi}{2} - 1. \end{gathered}$

Circles $A$ and $B$ meet only at the origin, so the two lenses do not overlap. The wanted area is $\pi - 2\left(\tfrac{\pi}{2} - 1\right) = 2.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años