Question

¿Cuál es el área máxima de un trapecio isósceles que tiene lados no paralelos de longitud $1$ y una base que es el doble de larga que la otra?

What is the maximum area of an isosceles trapezoid that has legs of length $1$ and one base twice as long as the other?

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{8}{7}$

$\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:trapecio optimización

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Traza las dos alturas; cada lado no paralelo abarca una distancia horizontal de $\frac{\text{base mayor}-\text{base menor}}{2}$

Drop the two heights; each leg spans a horizontal distance of $\frac{\text{long base}-\text{short base}}{2}$

Pista grande:

Con base menor $a,$ el área es $\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}};$ maximiza su cuadrado

With shorter base $a,$ the area is $\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}};$ maximize its square

Solución:

Sean las bases $a$ y $2a.$ Cada lado no paralelo tiene un desplazamiento horizontal de $\tfrac{a}{2},$ así que la altura es $\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}$ y el área es $A=\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}.$ Entonces $A^2=\tfrac94\left(a^2-\tfrac{a^4}{4}\right),$ que se maximiza cuando $a^2=2.$ Ahí la altura es $\tfrac{1}{\sqrt2}$ y $A=\tfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the bases be $a$ and $2a.$ Each leg has horizontal offset $\tfrac{a}{2},$ so the height is $\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}$ and the area is $A=\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}.$ Then $A^2=\tfrac94\left(a^2-\tfrac{a^4}{4}\right),$ maximized when $a^2=2.$ There the height is $\tfrac{1}{\sqrt2}$ and $A=\tfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12B Problema 11

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años