Question

Los enteros positivos $A,$ $B,$ $A-B,$ y $A+B$ son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es

The positive integers $A,$ $B,$ $A-B,$ and $A+B$ are all prime numbers. The sum of these four primes is

par

even

divisible entre $3$

divisible by $3$

divisible entre $5$

divisible by $5$

divisible entre $7$

divisible by $7$

primo

prime

Solución:

$A-B$ y $A+B$ tienen la misma paridad; al ser primos, ambos son impares, así que uno de $A,B$ es par. Como $A$ está entre los dos primos impares $A-B$ y $A+B,$ es el impar, lo que obliga a $B=2.$

Entonces $A-2,$ $A,$ $A+2$ son tres primos, que deben ser $3,$ $5,$ $7.$ Su suma junto con $2$ es $2+3+5+7=17,$ un primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

$A-B$ and $A+B$ have the same parity; being prime, both are odd, so one of $A,B$ is even. Since $A$ lies between the two odd primes $A-B$ and $A+B,$ it is the odd one, forcing $B=2.$

Then $A-2,$ $A,$ $A+2$ are three primes, which must be $3,$ $5,$ $7.$ Their sum together with $2$ is $2+3+5+7=17,$ a prime.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años