Question

Un triángulo de papel con lados de longitudes $3,$ $4,$ y $5$ pulgadas, como se muestra, se dobla de modo que el punto $A$ cae sobre el punto $B.$ ¿Cuál es la longitud en pulgadas del pliegue?

A paper triangle with sides of lengths $3,$ $4,$ and $5$ inches, as shown, is folded so that point $A$ falls on point $B.$ What is the length in inches of the crease?

$1 + \tfrac12 \sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$\tfrac{7}{4}$

$\tfrac{15}{8}$

$2$

Solución:

El pliegue está sobre la mediatriz de $AB,$ que corta a $AC$ en $E$ porque $AC \gt BC.$ Sea $D$ el punto medio de $AB,$ así que $AD = \tfrac52$ y $\triangle ADE$ es rectángulo en $D.$ Como $\triangle ADE \sim \triangle ACB,$ tenemos $\tfrac{DE}{AD} = \tfrac{CB}{AC} = \tfrac34,$ así que $DE = \frac52 \cdot \frac34 = \frac{15}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The crease lies along the perpendicular bisector of $AB,$ meeting $AC$ at $E$ because $AC \gt BC.$ Let $D$ be the midpoint of $AB,$ so $AD = \tfrac52$ and $\triangle ADE$ is right-angled at $D.$ Since $\triangle ADE \sim \triangle ACB,$ we have $\tfrac{DE}{AD} = \tfrac{CB}{AC} = \tfrac34,$ so $DE = \frac52 \cdot \frac34 = \frac{15}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años