Question

Alex, Mel y Chelsea juegan un juego que tiene $6$ rondas. En cada ronda hay un único ganador, y los resultados de las rondas son independientes. En cada ronda la probabilidad de que Alex gane es $\dfrac12,$ y Mel tiene el doble de probabilidad de ganar que Chelsea. ¿Cuál es la probabilidad de que Alex gane tres rondas, Mel gane dos rondas y Chelsea gane una ronda?

Alex, Mel, and Chelsea play a game that has $6$ rounds. In each round there is a single winner, and the outcomes of the rounds are independent. For each round the probability that Alex wins is $\dfrac12,$ and Mel is twice as likely to win as Chelsea. What is the probability that Alex wins three rounds, Mel wins two rounds, and Chelsea wins one round?

$\dfrac{5}{72}$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$1$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Primero halla la probabilidad de victoria por ronda de cada jugador

First find each player’s per-round win probability

Pista grande:

Como $P(\text{Mel}) + P(\text{Chelsea}) = \dfrac12$ y $P(\text{Mel}) = 2P(\text{Chelsea}),$ multiplica por el número $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!}$ de disposiciones

Since $P(\text{Mel}) + P(\text{Chelsea}) = \dfrac12$ and $P(\text{Mel}) = 2P(\text{Chelsea}),$ multiply by the number $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!}$ of arrangements

Solución:

Como Alex gana con probabilidad $\tfrac12,$ los otros dos se reparten el $\tfrac12$ restante. Con Mel dos veces más probable que Chelsea, $P(\text{Mel}) = \tfrac13$ y $P(\text{Chelsea}) = \tfrac16.$

El número de ordenamientos de las victorias $AAAMMC$ es $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!} = 60.$ La probabilidad es $\begin{aligned} 60 \cdot \left(\tfrac12\right)^3 \left(\tfrac13\right)^2 \left(\tfrac16\right) &= \frac{60}{432} \\ &= \frac{5}{36}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since Alex wins with probability $\tfrac12,$ the others share the remaining $\tfrac12.$ With Mel twice as likely as Chelsea, $P(\text{Mel}) = \tfrac13$ and $P(\text{Chelsea}) = \tfrac16.$

The number of orderings of the wins $AAAMMC$ is $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!} = 60.$ The probability is $\begin{aligned} 60 \cdot \left(\tfrac12\right)^3 \left(\tfrac13\right)^2 \left(\tfrac16\right) &= \frac{60}{432} \\ &= \frac{5}{36}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2012 AMC 12A Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años