Question

Una caja cerrada con base cuadrada se va a envolver con una hoja cuadrada de papel de regalo. La caja se coloca centrada sobre el papel de regalo, con los vértices de la base situados sobre las líneas medias de la hoja cuadrada de papel, como se muestra en la figura de la izquierda. Las cuatro esquinas del papel de regalo se doblan hacia arriba sobre los lados y se juntan para encontrarse en el centro de la parte superior de la caja, el punto $A$ en la figura de la derecha. La caja tiene longitud de base $w$ y altura $h.$ ¿Cuál es el área de la hoja de papel de regalo?

A closed box with a square base is to be wrapped with a square sheet of wrapping paper. The box is centered on the wrapping paper with the vertices of the base lying on the midlines of the square sheet of paper, as shown in the figure on the left. The four corners of the wrapping paper are to be folded up over the sides and brought together to meet at the center of the top of the box, point $A$ in the figure on the right. The box has base length $w$ and height $h.$ What is the area of the sheet of wrapping paper?

$2(w+h)^2$

$\dfrac{(w+h)^2}{2}$

$2w^2+4wh$

$2w^2$

$w^2h$

Solución:

Siguiendo un doblez desde una esquina del papel hasta el centro de la parte superior de la caja, la distancia desde una esquina de la hoja hasta su centro es $\dfrac{w}{2}+h+\dfrac{w}{2}=w+h.$

Ese segmento es un cateto de un triángulo $45$ - $45$ - $90$ cuya hipotenusa es un lado completo de la hoja cuadrada, así que la longitud del lado es $\sqrt2\,(w+h).$

El área de la hoja es $\left(\sqrt2\,(w+h)\right)^2=2(w+h)^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Following a fold from a corner of the paper to the center of the box top, the distance from a corner of the sheet to its center is $\dfrac{w}{2}+h+\dfrac{w}{2}=w+h.$

That segment is a leg of a $45$ - $45$ - $90$ triangle whose hypotenuse is a full side of the square sheet, so the side length is $\sqrt2\,(w+h).$

The area of the sheet is $\left(\sqrt2\,(w+h)\right)^2=2(w+h)^2.$

Thus, the correct answer is A.

2018 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años