Question

El lado $\overline{AB}$ del $\triangle ABC$ tiene longitud $10.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta a $\overline{BC}$ en $D,$ y $CD=3.$ El conjunto de todos los valores posibles de $AC$ es un intervalo abierto $(m, n).$ ¿Cuánto vale $m+n$ ?

Side $\overline{AB}$ of $\triangle ABC$ has length $10.$ The bisector of angle $A$ meets $\overline{BC}$ at $D,$ and $CD=3.$ The set of all possible values of $AC$ is an open interval $(m, n).$ What is $m+n?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Solución:

Sean $q=AC$ y $r=BD.$ El teorema de la bisectriz da $\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r},$ por lo que $r=\tfrac{30}{q}.$

Aplicando las desigualdades triangulares a los lados $q,$ $10,$ y $3+r$ y sustituyendo $r=\tfrac{30}{q}$ se obtiene $(q-15)(q+2)\lt0$ y $(q-3)(q+10)\gt0$ (la tercera desigualdad se cumple automáticamente). Juntas, estas obligan a $3\lt q\lt15.$

Así que $(m,n)=(3,15)$ y $m+n=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $q=AC$ and $r=BD.$ The angle bisector theorem gives $\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r},$ so $r=\tfrac{30}{q}.$

Applying the triangle inequalities to sides $q,$ $10,$ and $3+r$ and substituting $r=\tfrac{30}{q}$ yields $(q-15)(q+2)\lt0$ and $(q-3)(q+10)\gt0$ (the third inequality holds automatically). Together these force $3\lt q\lt15.$

So $(m,n)=(3,15)$ and $m+n=18.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años