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2018 AMC 12B Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2018 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

El lado AB‾\overline{AB} del △ABC\triangle ABC tiene longitud 10.10. La bisectriz del ángulo AA corta a BC‾\overline{BC} en D,D, y CD=3.CD=3. El conjunto de todos los valores posibles de ACAC es un intervalo abierto (m,n).(m, n). ¿Cuánto vale m+nm+n?

Side AB‾\overline{AB} of △ABC\triangle ABC has length 10.10. The bisector of angle AA meets BC‾\overline{BC} at D,D, and CD=3.CD=3. The set of all possible values of ACAC is an open interval (m,n).(m, n). What is m+n?m+n?

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Respuesta: C
Conceptos:teorema de la bisectrizdesigualdad triangular
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:

Por el teorema de la bisectriz, ACCD=ABBD\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}.

By the angle bisector theorem, ACCD=ABBD\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}

Pista grande:

Sea AC=q,AC=q, de modo que BD=30q;BD=\dfrac{30}{q}; luego aplica las tres desigualdades triangulares.

Let AC=q,AC=q, so BD=30q;BD=\dfrac{30}{q}; then apply the three triangle inequalities

Solución:

Sean q=ACq=AC y r=BD.r=BD. El teorema de la bisectriz da q3=10r,\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r}, por lo que r=30q.r=\tfrac{30}{q}.

Aplicando las desigualdades triangulares a los lados q,q, 10,10, y 3+r3+r y sustituyendo r=30qr=\tfrac{30}{q} se obtiene (q−15)(q+2)<0(q-15)(q+2)\lt0 y (q−3)(q+10)>0(q-3)(q+10)\gt0 (la tercera desigualdad se cumple automáticamente). Juntas, estas obligan a 3<q<15.3\lt q\lt15.

Así que (m,n)=(3,15)(m,n)=(3,15) y m+n=18.m+n=18.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let q=ACq=AC and r=BD.r=BD. The angle bisector theorem gives q3=10r,\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r}, so r=30q.r=\tfrac{30}{q}.

Applying the triangle inequalities to sides q,q, 10,10, and 3+r3+r and substituting r=30qr=\tfrac{30}{q} yields (q−15)(q+2)<0(q-15)(q+2)\lt0 and (q−3)(q+10)>0(q-3)(q+10)\gt0 (the third inequality holds automatically). Together these force 3<q<15.3\lt q\lt15.

So (m,n)=(3,15)(m,n)=(3,15) and m+n=18.m+n=18.

Thus, the correct answer is C.

Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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