Question

La recta $\ell$ en el plano coordenado tiene la ecuación $3x - 5y + 40 = 0.$ Esta recta se rota $45^\circ$ en sentido antihorario alrededor del punto $(20, 20)$ para obtener la recta $k.$ ¿Cuál es la coordenada $x$ del intercepto en $x$ de la recta $k$ ?

Line $\ell$ in the coordinate plane has the equation $3x - 5y + 40 = 0.$ This line is rotated $45^\circ$ counterclockwise about the point $(20, 20)$ to obtain line $k.$ What is the $x$ -coordinate of the $x$ -intercept of line $k?$

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:pendiente transformación geometría analítica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El punto $(20, 20)$ está sobre $\ell,$ así que también está sobre $k;$ halla la nueva pendiente

The point $(20, 20)$ lies on $\ell,$ so it also lies on $k;$ find the new slope

Pista grande:

Rotar una pendiente $m$ en $45^\circ$ da $\dfrac{m + 1}{1 - m}$ .

Rotating a slope $m$ by $45^\circ$ gives $\dfrac{m + 1}{1 - m}$

Solución:

Nota que $(20, 20)$ satisface $3x - 5y + 40 = 0,$ así que está sobre $\ell$ y permanece sobre $k.$ La pendiente de $\ell$ es $\tfrac{3}{5}.$

Rotar en $45^\circ$ da la pendiente $\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.$

La recta $k$ es $y - 20 = 4(x - 20).$ Haciendo $y = 0$ se obtiene $-20 = 4(x - 20),$ así que $x - 20 = -5$ y $x = 15.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note $(20, 20)$ satisfies $3x - 5y + 40 = 0,$ so it is on $\ell$ and remains on $k.$ The slope of $\ell$ is $\tfrac{3}{5}.$

Rotating by $45^\circ$ gives slope $\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.$

Line $k$ is $y - 20 = 4(x - 20).$ Setting $y = 0$ gives $-20 = 4(x - 20),$ so $x - 20 = -5$ and $x = 15.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años