Question

Sean $A,$ $M$ y $C$ enteros no negativos tales que $A + M + C = 12.$ ¿Cuál es el valor máximo de $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

Let $A,$ $M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C = 12.$ What is the maximum value of $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

$62$

$72$

$92$

$102$

$112$

Solución:

Observa que $\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}$

Como $A + M + C = 12,$ esto es igual a $(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13.$ Los tres factores suman $15,$ así que su producto se maximiza cuando cada uno es igual a $5,$ dando $5^3 = 125$ .

El valor máximo es $125 - 13 = 112$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Observe that $\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}$

Since $A + M + C = 12,$ this equals $(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13.$ The three factors sum to $15,$ so their product is maximized when each equals $5,$ giving $5^3 = 125.$

The maximum value is $125 - 13 = 112.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 12 Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años