Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2000 AMC 12 Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2000 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2000 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Sean A,A, M,M, y CC enteros no negativos tales que A+M+C=12.A + M + C = 12. ¿Cuál es el valor máximo de A⋅M⋅C+A⋅M+M⋅C+C⋅A? \begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}

Let A,A, M,M, and CC be nonnegative integers such that A+M+C=12.A + M + C = 12. What is the maximum value of A⋅M⋅C+A⋅M+M⋅C+C⋅A? \begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}

6262

7272

9292

102102

112112

Respuesta: E
Conceptos:factorizaciónDesigualdad MA-MGoptimización
Nivel de dificultad: 1650
Pista pequeña:

Observa que AMC+AM+MC+CAAMC + AM + MC + CA =(A+1)(M+1)(C+1)= (A + 1)(M + 1)(C + 1) −(A+M+C)−1- (A + M + C) - 1.

AMC+AM+MC+CAAMC + AM + MC + CA =(A+1)(M+1)(C+1)= (A + 1)(M + 1)(C + 1) −(A+M+C)−1- (A + M + C) - 1

Pista grande:

Los tres factores A+1,M+1,C+1A+1, M+1, C+1 suman 15,15, así que su producto es mayor cuando son iguales.

The three factors A+1,M+1,C+1A+1, M+1, C+1 sum to 15,15, so their product is largest when they are equal

Solución:

Observa que AMC+AM+MC+CA=(A+1)(M+1)(C+1)−(A+M+C)−1. \begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}

Como A+M+C=12,A + M + C = 12, esto es igual a (A+1)(M+1)(C+1)−13.(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13. Los tres factores suman 15,15, así que su producto se maximiza cuando cada uno es igual a 5,5, dando 53=125.5^3 = 125.

El valor máximo es 125−13=112.125 - 13 = 112.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Observe that AMC+AM+MC+CA=(A+1)(M+1)(C+1)−(A+M+C)−1. \begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}

Since A+M+C=12,A + M + C = 12, this equals (A+1)(M+1)(C+1)−13.(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13. The three factors sum to 15,15, so their product is maximized when each equals 5,5, giving 53=125.5^3 = 125.

The maximum value is 125−13=112.125 - 13 = 112.

Thus, the correct answer is E.

Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

El Problema 12 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B