Question

Una recta pasa por $A(1, 1)$ y $B(100, 1000).$ ¿Cuántos otros puntos con coordenadas enteras están sobre la recta y estrictamente entre $A$ y $B$ ?

A line passes through $A(1, 1)$ and $B(100, 1000).$ How many other points with integer coordinates are on the line and strictly between $A$ and $B?$

$0$

$2$

$3$

$8$

$9$

Solución:

La pendiente es $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}.$

Así, todo punto de la recta tiene la forma $(1 + 11t,\ 1 + 111t),$ que es un punto reticular exactamente cuando $t$ es entero. El punto está estrictamente entre $A$ y $B$ cuando $0 \lt t \lt 9.$

Hay $8$ enteros $t$ así, lo que da $8$ puntos reticulares.

Así, la respuesta correcta es D.

The slope is $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}.$

So every point on the line has the form $(1 + 11t,\ 1 + 111t),$ which is a lattice point exactly when $t$ is an integer. The point is strictly between $A$ and $B$ when $0 \lt t \lt 9.$

There are $8$ such integers $t,$ giving $8$ lattice points.

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años