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2024 AMC 12B Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Supón que zz es un número complejo con parte imaginaria positiva, con parte real mayor que 1,1, y con ∣z∣=2.|z| = 2. En el plano complejo, los cuatro puntos 0,0, z,z, z2,z^2, z3z^3 son los vértices de un cuadrilátero de área 15.15. ¿Cuál es la parte imaginaria de zz?

Suppose zz is a complex number with positive imaginary part, with real part greater than 1,1, and with ∣z∣=2.|z| = 2. In the complex plane, the four points 0,0, z,z, z2,z^2, and z3z^3 are the vertices of a quadrilateral with area 15.15. What is the imaginary part of z?z?

34\dfrac{3}{4}

11

43\dfrac{4}{3}

32\dfrac{3}{2}

53\dfrac{5}{3}

Respuesta: D
Conceptos:número complejofórmula del cordón
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:

El área con signo del cuadrilátero 0→z→z2→z30 \to z \to z^2 \to z^3 es 12 ∣Im⁡(zˉz2+z2‾ z3)∣\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\, z^3)\bigr|.

The signed area of the quadrilateral 0→z→z2→z30 \to z \to z^2 \to z^3 is 12 ∣Im⁡(zˉz2+z2‾ z3)∣\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\, z^3)\bigr|

Pista grande:

Como zˉz2=∣z∣2z\bar z z^2 = |z|^2 z y z2‾z3=∣z∣4z,\overline{z^2} z^3 = |z|^4 z, el área es 12(∣z∣2+∣z∣4)Im⁡(z);\tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z); sustituye ∣z∣=2|z| = 2

Since zˉz2=∣z∣2z\bar z z^2 = |z|^2 z and z2‾z3=∣z∣4z,\overline{z^2} z^3 = |z|^4 z, the area is 12(∣z∣2+∣z∣4)Im⁡(z);\tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z); plug in ∣z∣=2|z| = 2

Solución:

Para los vértices 0,z,z2,z30, z, z^2, z^3 la fórmula del cordón da el área 12 ∣Im⁡(zˉz2+z2‾ z3)∣=12 ∣Im⁡((∣z∣2+∣z∣4)z)∣=12(∣z∣2+∣z∣4)Im⁡(z). \begin{aligned} &\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\,z^3)\bigr| \\ &= \tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}\bigl((|z|^2 + |z|^4)z\bigr)\bigr| \\ &= \tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z). \end{aligned}

Con ∣z∣=2,|z| = 2, esto es 12(4+16)Im⁡(z)=10Im⁡(z).\tfrac12(4 + 16)\operatorname{Im}(z) = 10\operatorname{Im}(z). Igualando 10Im⁡(z)=1510\operatorname{Im}(z) = 15 se obtiene Im⁡(z)=32.\operatorname{Im}(z) = \dfrac32. (Entonces Re⁡(z)=4−94=72>1,\operatorname{Re}(z) = \sqrt{4 - \tfrac94} = \tfrac{\sqrt7}{2} \gt 1, como se requería.)

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For vertices 0,z,z2,z30, z, z^2, z^3 the shoelace formula gives area 12 ∣Im⁡(zˉz2+z2‾ z3)∣=12 ∣Im⁡((∣z∣2+∣z∣4)z)∣=12(∣z∣2+∣z∣4)Im⁡(z). \begin{aligned} &\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\,z^3)\bigr| \\ &= \tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}\bigl((|z|^2 + |z|^4)z\bigr)\bigr| \\ &= \tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z). \end{aligned}

With ∣z∣=2,|z| = 2, this is 12(4+16)Im⁡(z)=10Im⁡(z).\tfrac12(4 + 16)\operatorname{Im}(z) = 10\operatorname{Im}(z). Setting 10Im⁡(z)=1510\operatorname{Im}(z) = 15 gives Im⁡(z)=32.\operatorname{Im}(z) = \dfrac32. (Then Re⁡(z)=4−94=72>1,\operatorname{Re}(z) = \sqrt{4 - \tfrac94} = \tfrac{\sqrt7}{2} \gt 1, as required.)

Thus, the correct answer is D.

Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

El Problema 12 en otros años

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