Question

El quinto y el octavo término de una sucesión geométrica de números reales son $7!$ y $8!$ respectivamente. ¿Cuál es el primer término?

The fifth and eighth terms of a geometric sequence of real numbers are $7!$ and $8!$ respectively. What is the first term?

$60$

$75$

$120$

$225$

$315$

La razón entre el octavo término y el quinto término es $r^3$ .

The ratio of the eighth term to the fifth term is $r^3$

$\dfrac{8!}{7!} = 8 = r^3,$ así que $r = 2$ ; luego divide $7!$ entre $r^4$ .

$\dfrac{8!}{7!} = 8 = r^3,$ so $r = 2$ ; then divide $7!$ by $r^4$

El octavo término dividido entre el quinto término es $r^3 = \dfrac{8!}{7!} = 8,$ así que $r = 2.$

El quinto término es $a r^4 = 7!,$ así que $a = \dfrac{7!}{16} = \dfrac{5040}{16} = 315.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The eighth term divided by the fifth term is $r^3 = \dfrac{8!}{7!} = 8,$ so $r = 2.$

The fifth term is $a r^4 = 7!,$ so $a = \dfrac{7!}{16} = \dfrac{5040}{16} = 315.$

Thus, the correct answer is E.