1982 AMC 12 Problema 12

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Sea $f(x)=ax^7+bx^3+cx-5,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son constantes. Si $f(-7)=7,$ entonces $f(7)$ es igual a

Let $f(x)=ax^7+bx^3+cx-5,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are constants. If $f(-7)=7,$ then $f(7)$ equals

$-17$

$-7$

$14$

$21$

no se puede determinar de manera única

not uniquely determined

Respuesta: A

Conceptos:simetría (álgebra)polinomio función

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Separa el término constante de los términos de potencia impar

Separate the constant term from the odd-powered terms

Pista grande:

Si $g(x)=f(x)+5,$ compara $g(7)$ con $g(-7)$

If $g(x)=f(x)+5,$ compare $g(7)$ and $g(-7)$

Solución:

Sea $g(x)=ax^7+bx^3+cx,$ que es una función impar. Como $f(-7)=g(-7)-5=7,$ se tiene $g(-7)=12.$ Por lo tanto, $g(7)=-12,$ y $f(7)=-12-5=-17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $g(x)=ax^7+bx^3+cx,$ which is odd. Since $f(-7)=g(-7)-5=7,$ $g(-7)=12.$ Therefore $g(7)=-12,$ and $f(7)=-12-5=-17.$

Therefore, the correct answer is A.

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