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1990 AMC 12 Problema 12

Intenta el Problema 12 del 1990 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1990 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Sea ff la función definida por f(x)=ax2−2f(x)=ax^2-\sqrt2 para cierto aa positivo. Si f(f(2))=−2,f(f(\sqrt2))=-\sqrt2, entonces a=a=

Let ff be the function defined by f(x)=ax2−2f(x)=ax^2-\sqrt2 for some positive a.a. If f(f(2))=−2,f(f(\sqrt2))=-\sqrt2, then a=a=

2−22\frac{2-\sqrt2}{2}

12\frac12

2−22-\sqrt2

22\frac{\sqrt2}{2}

2+22\frac{2+\sqrt2}{2}

Respuesta: D
Conceptos:function compositionradical equation
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:

Para aa positivo, ¿cuándo puede f(y)f(y) ser igual a −2-\sqrt2?

For positive a,a, when can f(y)f(y) equal −2?-\sqrt2?

Pista grande:

Iguala a cero el valor interior f(2)f(\sqrt2)

Set the inner value f(2)f(\sqrt2) equal to zero

Solución:

Como a>0,a\gt0, la ecuación f(y)=ay2−2=−2f(y)=ay^2-\sqrt2=-\sqrt2 obliga a que y=0.y=0. Por tanto, f(2)=2a−2=0, f(\sqrt2)=2a-\sqrt2=0, de modo que a=22.a=\frac{\sqrt2}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because a>0,a\gt0, the equation f(y)=ay2−2=−2f(y)=ay^2-\sqrt2=-\sqrt2 forces y=0.y=0. Hence f(2)=2a−2=0, f(\sqrt2)=2a-\sqrt2=0, so a=22.a=\frac{\sqrt2}{2}.

Thus the correct answer is D.

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