1975 AMC 12 Problema 12

Intenta el Problema 12 del 1975 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1975 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Si $a\ne b,$ $a^3-b^3=19x^3,$ y $a-b=x,$ ¿cuál de las siguientes conclusiones es correcta?

If $a\ne b,$ $a^3-b^3=19x^3,$ and $a-b=x,$ which of the following conclusions is correct?

$a=3x$

$a=3x$ o $a=-2x$

$a=3x$ or $a=-2x$

$a=-3x$ o $a=2x$

$a=-3x$ or $a=2x$

$a=3x$ o $a=2x$

$a=3x$ or $a=2x$

$a=2x$

Respuesta: B

Conceptos:suma y diferencia de cubos factorización cuadrática

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Factoriza $a^3-b^3$ y usa $x=a-b\ne0$

Factor $a^3-b^3$ and use $x=a-b\ne0$

Pista grande:

Sustituye $b=a-x$ después de dividir entre $x$

Substitute $b=a-x$ after dividing by $x$

Solución:

Al factorizar y dividir entre $x\ne0$ se obtiene $a^2+ab+b^2=19x^2.$ Con $b=a-x,$ $3a^2-3ax+x^2=19x^2,$ por lo que $\begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0. \end{aligned}$ Por tanto, $a=3x$ o $a=-2x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring and dividing by $x\ne0$ gives $a^2+ab+b^2=19x^2.$ With $b=a-x,$ $3a^2-3ax+x^2=19x^2,$ so $\begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0. \end{aligned}$ Hence $a=3x$ or $a=-2x.$

Therefore, the correct answer is B.

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