1975 AMC 12 Problema 11
Intenta el Problema 11 del 1975 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1975 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
11.
Sea un punto interior del círculo distinto del centro de Se trazan todas las cuerdas de que pasan por y se determinan sus puntos medios. El lugar geométrico de estos puntos medios es
Let be an interior point of circle other than the center of Form all chords of which pass through and determine their midpoints. The locus of these midpoints is
un círculo al que le falta un punto
a circle with one point deleted
un círculo si la distancia de al centro de es menor que la mitad del radio de en caso contrario, un arco circular de menos de
a circle if the distance from to the center of is less than one half the radius of otherwise a circular arc of less than
un semicírculo al que le falta un punto
a semicircle with one point deleted
un semicírculo
a semicircle
un círculo
a circle
Respuesta: E
Pista pequeña:
Une un punto medio de una cuerda con el centro del círculo
Join a chord midpoint to the circle’s center
Pista grande:
Como es perpendicular a la cuerda que pasa por
Since is perpendicular to the chord through
Solución:
Si es el punto medio de una cuerda y es el centro, entonces es perpendicular a la cuerda, de modo que salvo cuando Así, pertenece al círculo de diámetro Recíprocamente, cada punto de ese círculo que no sea un extremo satisface por lo que la recta determina una cuerda de cuyo punto medio es El extremo produce la cuerda que pasa por y es perpendicular a mientras que produce el diámetro que pasa por y
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
If is a chord midpoint and is the center, then is perpendicular to the chord, so unless Thus lies on the circle with diameter Conversely, each nonendpoint on that circle gives so the line cuts a chord of whose midpoint is The endpoint gives the chord through perpendicular to while gives the diameter through and
Therefore, the correct answer is E.
El Problema 11 en otros años
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