Question

Tres cubos de volúmenes $1,$ $8$ y $27$ se pegan por sus caras. La menor área superficial posible de la figura resultante es

Three cubes of volume $1,$ $8$ and $27$ are glued together at their faces. The smallest possible surface area of the resulting configuration is

$36$

$56$

$70$

$72$

$74$

Respuesta: D

Conceptos:área de superficie cubes maximizing contact area

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Las longitudes de las aristas de los cubos son $1,2,$ y $3$

The cube side lengths are $1,2,$ and $3$

Pista grande:

Minimiza el área expuesta maximizando el área total de las porciones de caras pegadas

Minimize exposed area by maximizing the total areas of glued face portions

Solución:

Antes de pegar los cubos, el área superficial total es $6(1^2+2^2+3^2)=84.$ El cubo de arista $2$ puede compartir un área de $4$ con el cubo de arista $3$ , mientras que el cubo de arista $1$ se coloca en la arista común de los otros dos para compartir un área de $1$ con cada cubo mayor. Por tanto, el área total de contacto es $6.$ Cada área pegada elimina dos copias expuestas, lo que da $84-2(6)=72.$ Ningún par puede compartir más que la cara del cubo menor, así que este contacto es máximo y el área superficial es mínima. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Before gluing, the total surface area is $6(1^2+2^2+3^2)=84.$ The side- $2$ cube can share area $4$ with the side- $3$ cube, while the side- $1$ cube is placed at their common edge so that it shares area $1$ with each larger cube. Thus the total contact area is $6.$ Each glued area removes two exposed copies, giving $84-2(6)=72.$ No pair can share more than the smaller face, so this is maximal contact and minimal surface area. Thus the correct answer is D.

1994 AMC 12 Problema 11

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años