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1967 AMC 12 Problema 11

Intenta el Problema 11 del 1967 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1967 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Si el perímetro del rectángulo ABCDABCD es 2020 pulgadas, el menor valor de la diagonal AC,AC, en pulgadas, es:

If the perimeter of rectangle ABCDABCD is 2020 inches, the least value of diagonal AC,AC, in inches, is:

00

50\sqrt{50}

1010

200\sqrt{200}

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B
Conceptos:rectánguloTeorema de Pitágorasoptimización
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:

Si los lados adyacentes son xx y 10−x,10-x, eleva la diagonal al cuadrado

If adjacent sides are xx and 10−x,10-x, square the diagonal

Pista grande:

Completa el cuadrado en x2+(10−x)2x^2+(10-x)^2

Complete the square in x2+(10−x)2x^2+(10-x)^2

Solución:

Sean los lados adyacentes xx y 10−x.10-x. Entonces AC2=x2+(10−x)2=2(x−5)2+50. \begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned} Esto se minimiza cuando x=5,x=5, y da AC=50.AC=\sqrt{50}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let adjacent sides be xx and 10−x.10-x. Then AC2=x2+(10−x)2=2(x−5)2+50. \begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned} This is minimized at x=5,x=5, giving AC=50.AC=\sqrt{50}.

Therefore, the correct answer is B.

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