Question

Dado un círculo de radio $2,$ hay muchos segmentos de longitud $2$ tangentes al círculo en sus puntos medios. Halla el área de la región formada por todos esos segmentos.

Given a circle of radius $2,$ there are many line segments of length $2$ that are tangent to the circle at their midpoints. Find the area of the region consisting of all such line segments.

$\frac{\pi}{4}$

$4-\pi$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

$2\pi$

Respuesta: D

Conceptos:geometric loci annulus area

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Cada segmento tangente se extiende una unidad en cada dirección desde su punto medio

Each tangent segment extends one unit in each direction from its midpoint

Pista grande:

Usa un triángulo rectángulo desde el centro del círculo para hallar los radios interior y exterior de la región barrida

Use a right triangle from the circle’s center to locate the inner and outer radii of the swept region

Solución:

Cada segmento está centrado en un punto de tangencia situado a $2$ unidades del centro del círculo y se extiende $1$ unidad sobre la tangente en ambas direcciones. Al girar el punto de tangencia, los segmentos llenan el anillo de radio interior $2$ y radio exterior $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.$ Su área es $\pi(5-4)=\pi,$ así que la respuesta correcta es D.

Each segment is centered at a tangency point $2$ units from the circle’s center and extends $1$ unit along the tangent in both directions. As the tangency point rotates, the segments fill the annulus with inner radius $2$ and outer radius $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.$ Its area is $\pi(5-4)=\pi,$ so the correct answer is D.

1996 AMC 12 Problema 11

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años