Question

Para cada número real $x,$ sea $[x]$ el mayor entero que no excede a $x$ (es decir, el entero $n$ tal que $n\le x\lt n+1$ ). ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

$\mathrm{I}.$ $[x+1]=[x]+1$ para todo $x$

$\mathrm{II}.$ $[x+y]=[x]+[y]$ para todos $x$ e $y$

$\mathrm{III}.$ $[xy]=[x][y]$ para todos $x$ e $y$

For each real number $x,$ let $[x]$ be the largest integer not exceeding $x$ (i.e., the integer $n$ such that $n\le x\lt n+1$ ). Which of the following statements is (are) true?

$\mathrm{I}.$ $[x+1]=[x]+1$ for all $x$

$\mathrm{II}.$ $[x+y]=[x]+[y]$ for all $x$ and $y$

$\mathrm{III}.$ $[xy]=[x][y]$ for all $x$ and $y$

ninguna

none

solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

todas

all

Respuesta: B

Conceptos:funciones piso y techo contraejemplo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Demuestra directamente la propiedad de traslación a partir de $n\le x\lt n+1$

Prove the translation statement directly from $n\le x\lt n+1$

Pista grande:

Prueba las otras dos afirmaciones con valores no enteros entre $1$ y $2$

Test the other two claims using noninteger values between $1$ and $2$

Solución:

Si $n\le x\lt n+1,$ entonces $n+1\le x+1\lt n+2,$ así que $\mathrm{I}$ es verdadera. Al tomar $x=y=\frac{3}{2}$ se obtiene $[x+y]=3\ne2=[x]+[y]$ y $[xy]=2\ne1=[x][y].$ Por lo tanto, $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$ son falsas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $n\le x\lt n+1,$ then $n+1\le x+1\lt n+2,$ so $\mathrm{I}$ is true. Taking $x=y=\frac{3}{2}$ gives $[x+y]=3\ne2=[x]+[y]$ and $[xy]=2\ne1=[x][y].$ Thus $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ are false.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años