Soluciones del 1977 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si $y=2x$ y $z=2y,$ entonces $x+y+z$ es igual a

If $y=2x$ and $z=2y,$ then $x+y+z$ equals

$x$

$3x$

$5x$

$7x$

$9x$

Conceptos:sustitución manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Expresa cada término en función de $x$

Express every term in terms of $x$

Pista grande:

Usa primero $y=2x$ para obtener $z=4x$

Use $y=2x$ first to obtain $z=4x$

Solución:

Como $y=2x,$ tenemos $z=2y=4x.$ Por lo tanto, $x+y+z=x+2x+4x=7x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $y=2x,$ we have $z=2y=4x.$ Therefore $x+y+z=x+2x+4x=7x.$

Therefore, the correct answer is D.

2.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? Todos los triángulos equiláteros son

Which one of the following statements is false? All equilateral triangles are

equiángulos

equiangular

isósceles

isosceles

polígonos regulares

regular polygons

congruentes entre sí

congruent to each other

semejantes entre sí

similar to each other

Conceptos:triángulo equilátero congruencia (geometría)semejanza

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Distingue las propiedades determinadas por los ángulos de las determinadas por el tamaño

Separate properties determined by angles from properties determined by size

Pista grande:

Compara dos triángulos equiláteros cuyos lados tienen longitudes diferentes

Compare two equilateral triangles having different side lengths

Solución:

Todo triángulo equilátero es equiángulo, isósceles, regular y semejante a cualquier otro triángulo equilátero. Sin embargo, dos triángulos equiláteros con lados de longitudes diferentes no son congruentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every equilateral triangle is equiangular, isosceles, regular, and similar to every other equilateral triangle. Two equilateral triangles with different side lengths are not congruent, however.

Therefore, the correct answer is D.

3.

Un hombre tiene $\$2.73$ en monedas de uno, cinco, diez, veinticinco y cincuenta centavos. Si tiene la misma cantidad de monedas de cada tipo, el número total de monedas que posee es

A man has $\$2.73$ in pennies, nickels, dimes, quarters and half dollars. If he has an equal number of coins of each kind, then the total number of coins he has is

$3$

$5$

$9$

$10$

$15$

Conceptos:dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Halla el valor de una moneda de cada uno de los cinco tipos

Find the value of one coin of each of the five types

Pista grande:

Las cinco monedas de un conjunto completo valen $91$ centavos

The five coins in one complete set are worth $91$ cents

Solución:

Una moneda de cada tipo vale $1+5+10+25+50=91$ centavos. Como $\frac{273}{91}=3,$ hay tres monedas de cada uno de los cinco tipos, es decir, $5\cdot3=15$ monedas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

One coin of each kind is worth $1+5+10+25+50=91$ cents. Since $\frac{273}{91}=3,$ there are three coins of each of the five kinds, or $5\cdot3=15$ coins.

Therefore, the correct answer is E.

4.

En el triángulo $ABC,$ se cumple que $AB=AC$ y $\angle A=80^\circ.$ Si los puntos $D,$ $E$ y $F$ están sobre los lados $BC,$ $AC$ y $AB,$ respectivamente, y $CE=CD$ y $BF=BD,$ entonces $\angle EDF$ es igual a

In triangle $ABC,$ $AB=AC$ and $\angle A=80^\circ.$ If points $D,$ $E$ and $F$ lie on sides $BC,$ $AC$ and $AB,$ respectively, and $CE=CD$ and $BF=BD,$ then $\angle EDF$ equals

$30^\circ$

$40^\circ$

$50^\circ$

$65^\circ$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Determina primero los dos ángulos de la base de $\triangle ABC$

First determine the two base angles of $\triangle ABC$

Pista grande:

Usa los dos pares de segmentos de igual longitud para hallar $\angle EDC$ y $\angle BDF$

Use the two given equal-length pairs to find $\angle EDC$ and $\angle BDF$

Solución:

Los ángulos de la base de $\triangle ABC$ miden $50^\circ.$ Como $CE=CD,$ el triángulo $CED$ tiene un ángulo vértice de $50^\circ,$ por lo que $\angle EDC=65^\circ.$ De manera análoga, $BF=BD$ implica que $\angle BDF=65^\circ.$ Los tres ángulos situados sobre la recta $CB$ suman $180^\circ,$ así que $\begin{aligned} \angle EDF&=180^\circ-65^\circ-65^\circ\\ &=50^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The base angles of $\triangle ABC$ are each $50^\circ.$ Since $CE=CD,$ triangle $CED$ has vertex angle $50^\circ,$ so $\angle EDC=65^\circ.$ Similarly, $BF=BD$ gives $\angle BDF=65^\circ.$ The three angles above the straight line $CB$ sum to $180^\circ,$ so $\begin{aligned} \angle EDF&=180^\circ-65^\circ-65^\circ\\ &=50^\circ. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

5.

El conjunto de todos los puntos $P$ tales que la suma de las distancias (no dirigidas) desde $P$ hasta dos puntos fijos $A$ y $B$ es igual a la distancia entre $A$ y $B$ es

The set of all points $P$ such that the sum of the (undirected) distances from $P$ to two fixed points $A$ and $B$ equals the distance between $A$ and $B$ is

el segmento de $A$ a $B$

the line segment from $A$ to $B$

la recta que pasa por $A$ y $B$

the line passing through $A$ and $B$

la mediatriz del segmento de $A$ a $B$

the perpendicular bisector of the line segment from $A$ to $B$

una elipse de área positiva

an ellipse having positive area

una parábola

a parabola

Conceptos:desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Aplica la desigualdad triangular a $AP,$ $PB,$ y $AB$

Apply the triangle inequality to $AP,$ $PB,$ and $AB$

Pista grande:

Recuerda cuándo se da la igualdad en la desigualdad triangular

Recall when equality holds in the triangle inequality

Solución:

La desigualdad triangular da $AP+PB\ge AB.$ La igualdad se cumple exactamente cuando $A,$ $P,$ $B$ son colineales y $P$ está entre $A$ y $B,$ incluidos los extremos. Por lo tanto, el lugar geométrico es el segmento de $A$ a $B.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The triangle inequality gives $AP+PB\ge AB.$ Equality holds exactly when $A,$ $P,$ $B$ are collinear with $P$ between $A$ and $B,$ including the endpoints. Thus the locus is the segment from $A$ to $B.$

Therefore, the correct answer is A.

6.

Si $x,$ $y$ y $2x+\frac y2$ no son cero, entonces $\left(2x+\frac y2\right)^{-1}\left[(2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1}\right]$ es igual a

If $x,$ $y$ and $2x+\frac y2$ are not zero, then $\left(2x+\frac y2\right)^{-1}\left[(2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1}\right]$ equals

$1$

$xy^{-1}$

$x^{-1}y$

$(xy)^{-1}$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Reescribe el recíproco exterior como una sola fracción

Rewrite the outside reciprocal using a single fraction

Pista grande:

Suma los dos recíprocos entre corchetes usando un denominador común

Combine the two reciprocals inside the brackets over a common denominator

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} \left(2x+\frac y2\right)^{-1} &=\frac2{4x+y},\\ (2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1} &=\frac1{2x}+\frac2y\\ &=\frac{y+4x}{2xy}. \end{aligned}$ Su producto es $\frac{1}{xy}=(xy)^{-1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} \left(2x+\frac y2\right)^{-1} &=\frac2{4x+y},\\ (2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1} &=\frac1{2x}+\frac2y\\ &=\frac{y+4x}{2xy}. \end{aligned}$ Their product is $\frac{1}{xy}=(xy)^{-1}.$

Therefore, the correct answer is D.

7.

Si $t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}},$ entonces $t$ es igual a

If $t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}},$ then $t$ equals

$(1-\sqrt[4]{2})(2-\sqrt2)$

$(1-\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)$

$(1+\sqrt[4]{2})(1-\sqrt2)$

$(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)$

$-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)$

Conceptos:racionalización del denominador diferencia de cuadrados radical

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea $u=\sqrt[4]{2}$ y usa $u^4=2$

Let $u=\sqrt[4]{2}$ and use $u^4=2$

Pista grande:

Factoriza $u^4-1$ como producto de dos factores lineales y uno cuadrático

Factor $u^4-1$ into a linear factor, a second linear factor, and a quadratic factor

Solución:

Sea $u=\sqrt[4]{2}.$ Como $\begin{aligned} &(1-u)\bigl(-(1+u)(1+u^2)\bigr)\\ &\qquad=-(1-u^2)(1+u^2)\\ &\qquad=u^4-1=1, \end{aligned}$ se sigue que $t=-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $u=\sqrt[4]{2}.$ Since $\begin{aligned} &(1-u)\bigl(-(1+u)(1+u^2)\bigr)\\ &\qquad=-(1-u^2)(1+u^2)\\ &\qquad=u^4-1=1, \end{aligned}$ it follows that $t=-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2).$

Therefore, the correct answer is E.

8.

Para cada terna $(a,b,c)$ de números reales no nulos, se forma el número $\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}.$ El conjunto de todos los números que se pueden formar es

For every triple $(a,b,c)$ of nonzero real numbers, form the number $\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}.$ The set of all numbers formed is

$\{0\}$

$\{-4,0,4\}$

$\{-4,-2,0,2,4\}$

$\{-4,-2,2,4\}$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Cada una de las tres primeras fracciones es $1$ o $-1$

Each of the first three fractions is either $1$ or $-1$

Pista grande:

El signo de la última fracción es el producto de los tres primeros signos

The sign of the final fraction is the product of the first three signs

Solución:

Sean $r,$ $s,$ $t\in\{-1,1\}$ los signos de $a,$ $b,$ $c.$ La expresión es $r+s+t+rst.$ Si los tres signos son positivos, vale $4,$ y si todos son negativos, vale $-4.$ Si hay signos distintos, la cancelación directa da $0.$ Por lo tanto, el conjunto es $\{-4,0,4\}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $r,$ $s,$ $t\in\{-1,1\}$ be the signs of $a,$ $b,$ $c.$ The expression is $r+s+t+rst.$ If all three signs are positive it is $4,$ and if all are negative it is $-4.$ If the signs are mixed, direct cancellation gives $0.$ Hence the set is $\{-4,0,4\}.$

Therefore, the correct answer is B.

9.

En la figura adjunta, $\angle E=40^\circ$ y los arcos $AB,$ $BC$ y $CD$ tienen la misma longitud. Halla la medida de $\angle ACD.$

In the adjoining figure $\angle E=40^\circ$ and arc $AB,$ arc $BC$ and arc $CD$ all have equal length. Find the measure of $\angle ACD.$

$10^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

$\left(\frac{45}2\right)^\circ$

$30^\circ$

Conceptos:arco ángulo inscrito círculo

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Asigna una variable común a los tres arcos iguales y otra variable al arco $AD$

Assign one variable to each of the three equal arcs and another to arc $AD$

Pista grande:

Usa tanto la suma de los arcos de la circunferencia completa como el teorema del ángulo entre secantes exteriores en $E$

Use both the full-circle arc sum and the external-secant angle theorem at $E$

Solución:

Sea $x^\circ$ la medida de cada uno de los arcos $AB,$ $BC,$ $CD$ y sea $y^\circ$ la del arco $AD.$ Entonces $\begin{aligned} 3x+y&=360,\\ \frac{x-y}{2}&=40. \end{aligned}$ Al resolver se obtiene $y=30.$ El ángulo inscrito $\angle ACD$ subtiende el arco $AD,$ por lo que mide $\frac{y}{2}=15^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let each of arcs $AB,$ $BC,$ $CD$ measure $x^\circ$ and let arc $AD$ measure $y^\circ.$ Then $\begin{aligned} 3x+y&=360,\\ \frac{x-y}{2}&=40. \end{aligned}$ Solving gives $y=30.$ The inscribed angle $\angle ACD$ subtends arc $AD,$ so it measures $\frac{y}{2}=15^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

10.

Si $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0,$ entonces $a_7+a_6+\cdots+a_0$ es igual a

If $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0,$ then $a_7+a_6+\cdots+a_0$ equals

$0$

$1$

$64$

$-64$

$128$

Conceptos:polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

La suma de los coeficientes de un polinomio se obtiene evaluándolo en un valor particular

A polynomial’s coefficient sum is obtained by evaluating it at a particular input

Pista grande:

Sustituye $x=1$ en la identidad dada

Substitute $x=1$ into the given identity

Solución:

Al tomar $x=1,$ el lado derecho se convierte en la suma de coeficientes buscada. Por lo tanto, $\begin{aligned} a_7+a_6+\cdots+a_0 &=(3\cdot1-1)^7\\ &=2^7=128. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Setting $x=1$ makes the right side the desired coefficient sum. Thus $\begin{aligned} a_7+a_6+\cdots+a_0 &=(3\cdot1-1)^7\\ &=2^7=128. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

11.

Para cada número real $x,$ sea $[x]$ el mayor entero que no excede a $x$ (es decir, el entero $n$ tal que $n\le x\lt n+1$ ). ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

$\mathrm{I}.$ $[x+1]=[x]+1$ para todo $x$

$\mathrm{II}.$ $[x+y]=[x]+[y]$ para todos $x$ e $y$

$\mathrm{III}.$ $[xy]=[x][y]$ para todos $x$ e $y$

For each real number $x,$ let $[x]$ be the largest integer not exceeding $x$ (i.e., the integer $n$ such that $n\le x\lt n+1$ ). Which of the following statements is (are) true?

$\mathrm{I}.$ $[x+1]=[x]+1$ for all $x$

$\mathrm{II}.$ $[x+y]=[x]+[y]$ for all $x$ and $y$

$\mathrm{III}.$ $[xy]=[x][y]$ for all $x$ and $y$

ninguna

none

solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

todas

all

Conceptos:funciones piso y techo contraejemplo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Demuestra directamente la propiedad de traslación a partir de $n\le x\lt n+1$

Prove the translation statement directly from $n\le x\lt n+1$

Pista grande:

Prueba las otras dos afirmaciones con valores no enteros entre $1$ y $2$

Test the other two claims using noninteger values between $1$ and $2$

Solución:

Si $n\le x\lt n+1,$ entonces $n+1\le x+1\lt n+2,$ así que $\mathrm{I}$ es verdadera. Al tomar $x=y=\frac{3}{2}$ se obtiene $[x+y]=3\ne2=[x]+[y]$ y $[xy]=2\ne1=[x][y].$ Por lo tanto, $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$ son falsas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $n\le x\lt n+1,$ then $n+1\le x+1\lt n+2,$ so $\mathrm{I}$ is true. Taking $x=y=\frac{3}{2}$ gives $[x+y]=3\ne2=[x]+[y]$ and $[xy]=2\ne1=[x][y].$ Thus $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ are false.

Therefore, the correct answer is B.

12.

La edad de Al supera en $16$ a la suma de las edades de Bob y Carl, y el cuadrado de la edad de Al supera en $1632$ al cuadrado de la suma de las edades de Bob y Carl. La suma de las edades de Al, Bob y Carl es

Al’s age is $16$ more than the sum of Bob’s age and Carl’s age, and the square of Al’s age is $1632$ more than the square of the sum of Bob’s age and Carl’s age. The sum of the ages of Al, Bob and Carl is

$64$

$94$

$96$

$102$

$140$

Conceptos:diferencia de cuadrados edades

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $s$ la suma de las edades de Bob y Carl

Let $s$ be the sum of Bob’s and Carl’s ages

Pista grande:

Factoriza $a^2-s^2$ y usa el valor conocido de $a-s$

Factor $a^2-s^2$ and use the known value of $a-s$

Solución:

Sea $a$ la edad de Al y $s$ la suma de las otras dos edades. Entonces $a-s=16$ y $\begin{aligned} 1632&=a^2-s^2\\ &=(a-s)(a+s)\\ &=16(a+s). \end{aligned}$ Por consiguiente, el total pedido $a+s$ es $\frac{1632}{16}=102.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a$ be Al’s age and $s$ the sum of the other two ages. Then $a-s=16$ and $\begin{aligned} 1632&=a^2-s^2\\ &=(a-s)(a+s)\\ &=16(a+s). \end{aligned}$ Hence the requested total $a+s$ is $\frac{1632}{16}=102.$

Therefore, the correct answer is D.

13.

Si $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ es una sucesión de números positivos tal que $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ para todo entero positivo $n,$ entonces la sucesión $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ es una progresión geométrica

If $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is a sequence of positive numbers such that $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ for all positive integers $n,$ then the sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is a geometric progression

para todos los valores positivos de $a_1$ y $a_2$

for all positive values of $a_1$ and $a_2$

si y solo si $a_1=a_2$

if and only if $a_1=a_2$

si y solo si $a_1=1$

if and only if $a_1=1$

si y solo si $a_2=1$

if and only if $a_2=1$

si y solo si $a_1=a_2=1$

if and only if $a_1=a_2=1$

Conceptos:recursión sucesión geométrica razón y proporción

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Escribe $a_3,$ $a_4,$ y $a_5$ en función de $a_1,$ $a_2$

Write out $a_3,$ $a_4,$ and $a_5$ in terms of $a_1,$ $a_2$

Pista grande:

Iguala las tres primeras razones consecutivas y usa que los términos son positivos

Equate the first three successive ratios and use positivity

Solución:

Los términos siguientes son $a_3=a_1a_2,$ $a_4=a_1a_2^2,$ y $a_5=a_1^2a_2^3.$ Si la sucesión es geométrica, entonces $\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}$ Así, $a_2=a_1^2$ y $a_2=a_1.$ Como los términos son positivos, necesariamente $a_1=a_2=1.$ Recíprocamente, estos valores iniciales producen la sucesión geométrica constante $1,1,1,\ldots.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The next terms are $a_3=a_1a_2,$ $a_4=a_1a_2^2,$ and $a_5=a_1^2a_2^3.$ If the sequence is geometric, then $\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}$ Thus $a_2=a_1^2$ and $a_2=a_1.$ Positivity forces $a_1=a_2=1.$ Conversely, these initial values produce the constant geometric sequence $1,1,1,\ldots.$

Therefore, the correct answer is E.

14.

¿Cuántos pares $(m,n)$ de enteros satisfacen la ecuación $m+n=mn$ ?

How many pairs $(m,n)$ of integers satisfy the equation $m+n=mn?$

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Conceptos:Ecuación diofántica factorización

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pasa todos los términos a un lado y suma $1$

Move all terms to one side and add $1$

Pista grande:

Factoriza la ecuación como un producto de dos enteros igual a $1$

Factor the equation into a product of two integers equal to $1$

Solución:

Al reordenar y completar el producto se obtiene $\begin{aligned} mn-m-n&=0,\\ (m-1)(n-1)&=1. \end{aligned}$ Los pares de factores enteros de $1$ son $(1,1)$ y $(-1,-1),$ que producen $(m,n)=(2,2)$ y $(0,0).$ Por lo tanto, hay dos pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rearranging and completing the product gives $\begin{aligned} mn-m-n&=0,\\ (m-1)(n-1)&=1. \end{aligned}$ The integer factor pairs of $1$ are $(1,1)$ and $(-1,-1),$ producing $(m,n)=(2,2)$ and $(0,0).$ Thus there are two ordered pairs.

Therefore, the correct answer is B.

15.

Cada uno de los tres círculos de la figura adjunta es tangente exteriormente a los otros dos, y cada lado del triángulo es tangente a dos de los círculos. Si cada círculo tiene radio tres, entonces el perímetro del triángulo es

Each of the three circles in the adjoining figure is externally tangent to the other two, and each side of the triangle is tangent to two of the circles. If each circle has radius three, then the perimeter of the triangle is

$36+9\sqrt2$

$36+6\sqrt3$

$36+9\sqrt3$

$18+18\sqrt3$

$45$

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo equilátero circunferencia inscrita, incentro e inradio

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Los tres centros forman un triángulo equilátero de lado $6$

The three circle centers form an equilateral triangle of side $6$

Pista grande:

Considera los lados exteriores como rectas paralelas desplazadas y compara los inradios de los dos triángulos equiláteros

View the outer sides as parallel offsets and compare the inradii of two equilateral triangles

Solución:

Los centros forman un triángulo equilátero de lado $6,$ cuyo inradio es $\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3.$ Cada lado del triángulo exterior es una tangente paralela desplazada tres unidades hacia afuera, por lo que el triángulo exterior tiene inradio $3+\sqrt3.$ Un triángulo equilátero de inradio $r$ tiene lado $2\sqrt3r,$ así que cada lado exterior mide $2\sqrt3(3+\sqrt3)=6+6\sqrt3.$ El perímetro es $3(6+6\sqrt3)=18+18\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The circle centers form an equilateral triangle of side $6,$ whose inradius is $\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3.$ Each side of the outer triangle is a parallel tangent line three units farther out, so the outer triangle has inradius $3+\sqrt3.$ An equilateral triangle of inradius $r$ has side $2\sqrt3r,$ hence each outer side is $2\sqrt3(3+\sqrt3)=6+6\sqrt3.$ The perimeter is $3(6+6\sqrt3)=18+18\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

16.

Si $i^2=-1,$ entonces la suma $\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}$ es igual a

If $i^2=-1,$ then the sum $\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}$ equals

$\frac{\sqrt2}{2}$

$-10i\sqrt2$

$\frac{21\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt2}{2}(21-20i)$

$\frac{\sqrt2}{2}(21+20i)$

Conceptos:número complejo identidad trigonométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Compara el término de índice $n+2$ con el de índice $n$

Compare the term indexed by $n+2$ with the term indexed by $n$

Pista grande:

Cuenta los índices pares e impares desde $0$ hasta $40$

Count the even and odd indices from $0$ through $40$

Solución:

Sea $u_n=i^n\cos(45+90n)^\circ.$ Entonces $\begin{aligned} u_{n+2} &=i^{n+2}\cos(225+90n)^\circ\\ &=(-i^n)(-\cos(45+90n)^\circ)\\ &=u_n. \end{aligned}$ Cada término de índice par es $\frac{\sqrt2}{2},$ y cada término de índice impar es $-\frac{i\sqrt2}{2}.$ Hay $21$ índices pares y $20$ impares, así que la suma es $\frac{\sqrt2}{2}(21-20i).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $u_n=i^n\cos(45+90n)^\circ.$ Then $\begin{aligned} u_{n+2} &=i^{n+2}\cos(225+90n)^\circ\\ &=(-i^n)(-\cos(45+90n)^\circ)\\ &=u_n. \end{aligned}$ Every even-indexed term equals $\frac{\sqrt2}{2},$ and every odd-indexed term equals $-\frac{i\sqrt2}{2}.$ There are $21$ even indices and $20$ odd indices, so the sum is $\frac{\sqrt2}{2}(21-20i).$

Therefore, the correct answer is D.

17.

Se lanzan al azar tres dados justos (es decir, todas las caras tienen la misma probabilidad de salir). ¿Cuál es la probabilidad de que los tres números obtenidos puedan ordenarse para formar una progresión aritmética de diferencia común uno?

Three fair dice are tossed at random (i.e., all faces have the same probability of coming up). What is the probability that the three numbers turned up can be arranged to form an arithmetic progression with common difference one?

$\frac16$

$\frac19$

$\frac1{27}$

$\frac1{54}$

$\frac7{36}$

Conceptos:probabilidad básica dados (probabilidad)permutaciones

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Enumera los posibles conjuntos de tres valores consecutivos de los dados

List the possible three-element sets of consecutive die values

Pista grande:

Cada conjunto válido tiene seis ordenamientos entre los $6^3$ resultados ordenados

Each qualifying set has six orderings among the $6^3$ ordered outcomes

Solución:

Los conjuntos posibles son $\{1,2,3\},$ $\{2,3,4\},$ $\{3,4,5\},$ y $\{4,5,6\}.$ Cada uno tiene $3!=6$ ordenamientos, así que $24$ de los $6^3=216$ resultados sirven. La probabilidad es $\frac{24}{216}=\frac{1}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The possible sets are $\{1,2,3\},$ $\{2,3,4\},$ $\{3,4,5\},$ and $\{4,5,6\}.$ Each has $3!=6$ orderings, so $24$ of the $6^3=216$ outcomes work. The probability is $\frac{24}{216}=\frac{1}{9}.$

Therefore, the correct answer is B.

18.

Si $\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32), \end{aligned}$ entonces

If $\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32), \end{aligned}$ then

$4\lt y\lt5$

$y=5$

$5\lt y\lt6$

$y=6$

$6\lt y\lt7$

Conceptos:logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Reescribe todos los logaritmos con la misma base

Rewrite every logarithm using the same base

Pista grande:

Los numeradores y denominadores adyacentes se cancelan en el producto

Adjacent numerators and denominators cancel in the product

Solución:

Por cambio de base, $\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By change of base, $\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

19.

Sea $E$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero convexo $ABCD,$ y sean $P,$ $Q,$ $R$ y $S$ los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos $ABE,$ $BCE,$ $CDE$ y $ADE,$ respectivamente. Entonces

Let $E$ be the point of intersection of the diagonals of convex quadrilateral $ABCD,$ and let $P,$ $Q,$ $R$ and $S$ be the centers of the circles circumscribing triangles $ABE,$ $BCE,$ $CDE$ and $ADE,$ respectively. Then

$PQRS$ es un paralelogramo

$PQRS$ is a parallelogram

$PQRS$ es un paralelogramo si y solo si $ABCD$ es un rombo

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a rhombus

$PQRS$ es un paralelogramo si y solo si $ABCD$ es un rectángulo

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a rectangle

$PQRS$ es un paralelogramo si y solo si $ABCD$ es un paralelogramo

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a parallelogram

ninguna de las anteriores es verdadera

none of the above are true

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio mediatriz paralelogramo

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Dos circuncentros adyacentes están sobre la mediatriz del lado que comparten sus triángulos

Two adjacent circumcenters lie on the perpendicular bisector of the side shared by their triangles

Pista grande:

Usa que $A,$ $E,$ $C$ son colineales y que $B,$ $E,$ $D$ son colineales

Use the fact that $A,$ $E,$ $C$ are collinear and $B,$ $E,$ $D$ are collinear

Solución:

Tanto $P$ como $Q$ están en la mediatriz de $BE,$ mientras que $R$ y $S$ están en la mediatriz de $DE.$ Como $B,$ $E,$ $D$ son colineales, estas mediatrices son paralelas, de modo que $PQ\parallel RS.$ Del mismo modo, $Q,$ $R$ están en la mediatriz de $CE,$ y $S,$ $P$ están en la de $AE.$ Como $A,$ $E,$ $C$ son colineales, $QR\parallel SP.$ Por lo tanto, $PQRS$ siempre es un paralelogramo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Both $P$ and $Q$ lie on the perpendicular bisector of $BE,$ while both $R$ and $S$ lie on the perpendicular bisector of $DE.$ Since $B,$ $E,$ $D$ are collinear, these bisectors are parallel, so $PQ\parallel RS.$ Likewise, $Q,$ $R$ lie on the perpendicular bisector of $CE,$ and $S,$ $P$ lie on that of $AE.$ Since $A,$ $E,$ $C$ are collinear, $QR\parallel SP.$ Therefore $PQRS$ is always a parallelogram.

Therefore, the correct answer is A.

20.

¿Cuántos caminos formados por una sucesión de segmentos horizontales y/o verticales, cada uno de los cuales conecta dos letras adyacentes del diagrama, deletrean la palabra CONTEST al recorrerlos de principio a fin?

For how many paths consisting of a sequence of horizontal and/or vertical line segments, with each segment connecting a pair of adjacent letters in the diagram below, is the word CONTEST spelled out as the path is traversed from beginning to end?

$63$

$128$

$129$

$255$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:caminos reticulares simetría conteo básico

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Invierte cada camino y comienza en la $T$ central de la fila inferior

Reverse each path, starting from the central $T$ in the bottom row

Pista grande:

Cuenta por separado las familias que van a la izquierda y a la derecha, y luego corrige por el camino que comparten

Count the left-going and right-going families separately, then correct for their common path

Solución:

Invertimos los caminos y deletreamos TSETNOC desde la $T$ central inferior. En la familia cuyos movimientos horizontales van hacia la izquierda, cada uno de los seis pasos ofrece dos opciones: subir o ir a la izquierda. Esto da $2^6=64$ caminos. Por simetría, hay $64$ caminos cuyos movimientos horizontales van a la derecha. El camino vertical central pertenece a ambas familias, de modo que el total es $64+64-1=127.$ Este número no aparece entre las primeras cuatro opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Reverse the paths and spell TSETNOC from the central bottom $T.$ In the family whose horizontal moves go left, each of the six steps has two choices: up or left. This gives $2^6=64$ paths. By symmetry, $64$ paths have horizontal moves going right. The all-vertical central path belongs to both families, so the total is $64+64-1=127.$ This number is not among the first four choices.

Therefore, the correct answer is E.

21.

¿Para cuántos valores del coeficiente $a$ tienen las ecuaciones $\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}$ una solución real común?

For how many values of the coefficient $a$ do the equations $\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}$ have a common real solution?

$0$

$1$

$2$

$3$

infinitos

infinitely many

Conceptos:cuadrática sistema de ecuaciones factorización

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Resta las dos ecuaciones para obtener una condición factorizada

Subtract the two equations to obtain a factored condition

Pista grande:

Examina por separado los casos $a=-1$ y $x=-1$

Check separately the cases $a=-1$ and $x=-1$

Solución:

Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene $\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0. \end{gathered}$ Si $a=-1,$ la ecuación común es $x^2-x+1=0,$ que no tiene raíces reales. En caso contrario, $x=-1,$ y al sustituir en $x^2-x-a=0$ se obtiene $a=2.$ Este valor funciona, así que exactamente un valor de $a$ cumple la condición.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Subtracting the second equation from the first gives $\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0. \end{gathered}$ If $a=-1,$ the common equation is $x^2-x+1=0,$ which has no real roots. Otherwise $x=-1,$ and substitution into $x^2-x-a=0$ gives $a=2.$ This value works, so exactly one value of $a$ qualifies.

Therefore, the correct answer is B.

22.

Si $f(x)$ es una función real de la variable real $x,$ $f(x)$ no es idénticamente nula y, para todos $a$ y $b,$ $\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b), \end{gathered}$ entonces, para todos $x$ e $y,$

If $f(x)$ is a real-valued function of the real variable $x,$ and $f(x)$ is not identically zero, and for all $a$ and $b$ $\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b), \end{gathered}$ then for all $x$ and $y$

$f(0)=1$

$f(-x)=-f(x)$

$f(-x)=f(x)$

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

existe un número positivo $T$ tal que $f(x+T)=f(x)$

there is a positive number $T$ such that $f(x+T)=f(x)$

Conceptos:ecuación funcional función sustitución

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Sustituye primero $a=b=0$

First substitute $a=b=0$

Pista grande:

Luego toma $a=0$ y $b=x$

Next set $a=0$ and $b=x$

Solución:

Al tomar $a=b=0$ se obtiene $2f(0)=4f(0),$ por lo que $f(0)=0.$ Ahora toma $a=0$ y $b=x.$ La ecuación se convierte en $\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x), \end{aligned}$ y por consiguiente $f(-x)=f(x)$ para todo número real $x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Setting $a=b=0$ gives $2f(0)=4f(0),$ so $f(0)=0.$ Now set $a=0$ and $b=x.$ The equation becomes $\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x), \end{aligned}$ and hence $f(-x)=f(x)$ for every real $x.$

Therefore, the correct answer is C.

23.

Si las soluciones de la ecuación $x^2+px+q=0$ son los cubos de las soluciones de la ecuación $x^2+mx+n=0,$ entonces

If the solutions of the equation $x^2+px+q=0$ are the cubes of the solutions of the equation $x^2+mx+n=0,$ then

$p=m^3+3mn$

$p=m^3-3mn$

$p+q=m^3$

$\left(\frac mn\right)^3=\frac pq$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:Fórmulas de Vieta suma y diferencia de cubos cuadrática

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Llama $u$ y $v$ a las raíces de la segunda ecuación y aplica las fórmulas de Vieta

Call the roots of the second equation $u$ and $v$ and apply Vieta’s formulas

Pista grande:

Usa $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Use $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Solución:

Sean $u,$ $v$ las raíces de $x^2+mx+n.$ Entonces $u+v=-m$ y $uv=n,$ mientras que las raíces de la primera ecuación son $u^3,$ $v^3.$ Así, $\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}$ Por lo tanto, $p=m^3-3mn.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the roots of $x^2+mx+n$ be $u,$ $v.$ Then $u+v=-m$ and $uv=n,$ while the roots of the first equation are $u^3,$ $v^3.$ Thus $\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}$ Therefore $p=m^3-3mn.$

Therefore, the correct answer is B.

24.

Halla la suma $\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257}. \end{aligned}$

Find the sum $\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257}. \end{aligned}$

$\frac{127}{255}$

$\frac{128}{255}$

$\frac12$

$\frac{128}{257}$

$\frac{129}{257}$

Conceptos:telescópica fracciones parciales sumatoria

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Descompón $\frac1{(2n-1)(2n+1)}$ como diferencia de dos fracciones unitarias

Decompose $\frac1{(2n-1)(2n+1)}$ into two unit fractions

Pista grande:

El último denominador corresponde a $n=128$

The last denominator corresponds to $n=128$

Solución:

Para $1\le n\le128,$ $\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)}. \end{gathered}$ Por lo tanto, la suma telescópica es $\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $1\le n\le128,$ $\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)}. \end{gathered}$ Hence the sum telescopes to $\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}.$

Therefore, the correct answer is D.

25.

Determina el mayor entero positivo $n$ tal que $1005!$ sea divisible por $10^n.$

Determine the largest positive integer $n$ such that $1005!$ is divisible by $10^n.$

$102$

$112$

$249$

$502$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:factorial ceros finales Fórmula de Legendre

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Cuenta los factores de $5$ en $1005!$

Count the factors of $5$ in $1005!$

Pista grande:

Incluye las contribuciones de los múltiplos de $25,$ $125,$ y $625$

Include contributions from multiples of $25,$ $125,$ and $625$

Solución:

Hay más factores de $2$ que de $5,$ por lo que el exponente de $10$ es $\begin{aligned} n={}&\left\lfloor\frac{1005}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{25}\right\rfloor\\ &+\left\lfloor\frac{1005}{125}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{625}\right\rfloor\\ ={}&201+40+8+1=250. \end{aligned}$ Como $250$ no aparece, la opción correcta es «ninguna de las anteriores».

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are more factors of $2$ than of $5,$ so the exponent of $10$ is $\begin{aligned} n={}&\left\lfloor\frac{1005}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{25}\right\rfloor\\ &+\left\lfloor\frac{1005}{125}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{625}\right\rfloor\\ ={}&201+40+8+1=250. \end{aligned}$ Since $250$ is not listed, the correct choice is “none of these.”

Therefore, the correct answer is E.

26.

Sean $a,$ $b,$ $c$ y $d$ las longitudes de los lados $MN,$ $NP,$ $PQ$ y $QM,$ respectivamente, del cuadrilátero $MNPQ.$ Si $A$ es el área de $MNPQ,$ entonces

Let $a,$ $b,$ $c$ and $d$ be the lengths of sides $MN,$ $NP,$ $PQ$ and $QM,$ respectively, of quadrilateral $MNPQ.$ If $A$ is the area of $MNPQ,$ then

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es convexo

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is convex

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es un rectángulo

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a rectangle

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es un rectángulo

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a rectangle

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es un paralelogramo

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a parallelogram

$A\ge\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es un paralelogramo

$A\ge\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a parallelogram

Conceptos:área desigualdad rectángulo

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Divide el cuadrilátero por cada diagonal y acota cada seno por $1$

Split the quadrilateral along each diagonal and bound every sine by $1$

Pista grande:

Combina las dos cotas de área y analiza cuándo todas se alcanzan con igualdad

Combine the two resulting area bounds and analyze when every bound is an equality

Solución:

Al dividir por la diagonal $MP$ y usar $\sin\theta\le1$ se obtiene $A\le\frac{ab+cd}{2}.$ Al dividir por $NQ$ se obtiene de modo análogo $A\le\frac{ad+bc}{2}.$ Estas cotas siguen siendo válidas para un cuadrilátero no convexo al tomar la diferencia apropiada de las áreas de los triángulos. Al sumarlas se obtiene $\begin{aligned} 2A&\le\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\\ &=\frac{(a+c)(b+d)}2, \end{aligned}$ o bien $A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right).$ Para que haya igualdad, las cuatro cotas de los senos deben ser igualdades, por lo que los cuatro ángulos son rectos; recíprocamente, un rectángulo da la igualdad. Así, la igualdad se cumple exactamente para los rectángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Splitting along diagonal $MP$ and using $\sin\theta\le1$ gives $A\le\frac{ab+cd}{2}.$ Splitting along $NQ$ similarly gives $A\le\frac{ad+bc}{2}.$ These bounds remain valid for a nonconvex quadrilateral by taking the appropriate difference of triangle areas. Adding them yields $\begin{aligned} 2A&\le\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\\ &=\frac{(a+c)(b+d)}2, \end{aligned}$ or $A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right).$ Equality requires equality in all four sine bounds, so all four angles are right angles; conversely a rectangle gives equality. Thus the equality holds exactly for rectangles.

Therefore, the correct answer is B.

27.

Hay dos bolas esféricas de distinto tamaño situadas en dos esquinas de una habitación rectangular; cada una toca dos paredes y el suelo. Si en cada bola hay un punto que está a $5$ pulgadas de cada pared que toca la bola y a $10$ pulgadas del suelo, entonces la suma de los diámetros de las bolas es

There are two spherical balls of different sizes lying in two corners of a rectangular room, each touching two walls and the floor. If there is a point on each ball which is $5$ inches from each wall which that ball touches and $10$ inches from the floor, then the sum of the diameters of the balls is

$20$ pulgadas

$20$ inches

$30$ pulgadas

$30$ inches

$40$ pulgadas

$40$ inches

$60$ pulgadas

$60$ inches

no se puede determinar con la información dada

not determined by the given information

Conceptos:esfera geometría analítica cuadrática

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Coloca la esquina en el origen y toma las paredes y el suelo como planos coordenados

Place the corner at the origin with the walls and floor as coordinate planes

Pista grande:

Una esfera de radio $r$ tangente a los tres planos tiene centro $(r,r,r)$

A sphere of radius $r$ tangent to all three planes has center $(r,r,r)$

Solución:

Para un radio $r,$ el centro es $(r,r,r)$ y el punto dado es $(5,5,10).$ Por lo tanto, $2(5-r)^2+(10-r)^2=r^2,$ que se simplifica a $r^2-20r+75=0,$ o $(r-5)(r-15)=0.$ Los dos radios son $5$ y $15,$ así que la suma de los diámetros es $2(5+15)=40$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For radius $r,$ the center is $(r,r,r)$ and the given point is $(5,5,10).$ Thus $2(5-r)^2+(10-r)^2=r^2,$ which simplifies to $r^2-20r+75=0,$ or $(r-5)(r-15)=0.$ The two radii are $5$ and $15,$ so the sum of the diameters is $2(5+15)=40$ inches.

Therefore, the correct answer is C.

28.

Sea $g(x)=x^5+x^4+x^3$ ${}+x^2+x+1.$ ¿Cuál es el resto al dividir el polinomio $g(x^{12})$ entre el polinomio $g(x)$ ?

Let $g(x)=x^5+x^4+x^3$ ${}+x^2+x+1.$ What is the remainder when the polynomial $g(x^{12})$ is divided by the polynomial $g(x)?$

$6$

$5-x$

$4-x+x^2$

$3-x+x^2-x^3$

$2-x+x^2-x^3+x^4$

Conceptos:polinomio raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Usa $(x-1)g(x)=x^6-1$

Use $(x-1)g(x)=x^6-1$

Pista grande:

Evalúa el resto en las cinco raíces de $g$ y usa la cota de su grado

Evaluate the remainder at the five roots of $g$ and use its degree bound

Solución:

Sea $R(x)$ el resto, de modo que $\deg R\le4.$ Las cinco raíces $\alpha$ de $g$ satisfacen $\alpha^6=1$ y $\alpha\ne1.$ Por ello, $\alpha^{12}=1$ y $R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6.$ Entonces $R(x)-6,$ un polinomio de grado a lo sumo $4,$ tiene cinco raíces distintas. Debe ser idénticamente nulo, así que $R(x)=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $R(x)$ be the remainder, so $\deg R\le4.$ The five roots $\alpha$ of $g$ satisfy $\alpha^6=1$ and $\alpha\ne1.$ Hence $\alpha^{12}=1$ and $R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6.$ Therefore $R(x)-6,$ a polynomial of degree at most $4,$ has five distinct roots. It must be identically zero, so $R(x)=6.$

Therefore, the correct answer is A.

29.

Halla el menor entero $n$ tal que $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2 &\le{}\\[-4pt] &n(x^4+y^4+z^4) \end{aligned}$ para todos los números reales $x,$ $y$ y $z.$

Find the smallest integer $n$ such that $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2 &\le{}\\[-4pt] &n(x^4+y^4+z^4) \end{aligned}$ for all real numbers $x,$ $y$ and $z.$

$2$

$3$

$4$

$6$

No existe tal entero $n.$

There is no such integer $n.$

Conceptos:Desigualdad de Cauchy-Schwarz desigualdad

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Aplica Cauchy-Schwarz a los tres números $x^2,$ $y^2,$ $z^2$

Apply Cauchy-Schwarz to the three numbers $x^2,$ $y^2,$ $z^2$

Pista grande:

Usa valores iguales y no nulos de $x^2,$ $y^2,$ $z^2$ para comprobar que la cota es óptima

Use equal nonzero values of $x^2,$ $y^2,$ $z^2$ to test sharpness

Solución:

Por Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2&\le3Q,\\ Q&=x^4+y^4+z^4. \end{aligned}$ La igualdad ocurre cuando $x^2=y^2=z^2\ne0,$ así que ningún valor menor puede funcionar. Por lo tanto, el menor entero es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2&\le3Q,\\ Q&=x^4+y^4+z^4. \end{aligned}$ Equality occurs when $x^2=y^2=z^2\ne0,$ so no smaller value can work. Thus the smallest integer is $3.$

Therefore, the correct answer is B.

30.

Si $a,$ $b$ y $d$ son, respectivamente, las longitudes de un lado, una diagonal más corta y una diagonal más larga de un nonágono regular (véase la figura adjunta), entonces

If $a,$ $b$ and $d$ are the lengths of a side, a shortest diagonal and a longest diagonal, respectively, of a regular nonagon (see adjoining figure), then

$d=a+b$

$d^2=a^2+b^2$

$d^2=a^2+ab+b^2$

$b=\frac{a+d}{2}$

$b^2=ad$

Conceptos:polígono regular cuerda identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Escribe las longitudes de las tres cuerdas usando el circunradio del nonágono

Write the three chord lengths using the nonagon’s circumradius

Pista grande:

Compara $\sin20^\circ+\sin40^\circ$ con $\sin80^\circ$ mediante la identidad de suma a producto

Compare $\sin20^\circ+\sin40^\circ$ with $\sin80^\circ$ using the sum-to-product identity

Solución:

Si el circunradio es $r,$ las tres cuerdas subtienden ángulos centrales de $40^\circ,$ $80^\circ,$ $160^\circ,$ respectivamente. Así, $\begin{aligned} a&=2r\sin20^\circ,\\ b&=2r\sin40^\circ,\\ d&=2r\sin80^\circ. \end{aligned}$ La identidad de suma a producto da $\begin{gathered} \sin20^\circ+\sin40^\circ\\ =2\sin30^\circ\cos10^\circ\\ =\cos10^\circ=\sin80^\circ. \end{gathered}$ Al multiplicar por $2r$ se obtiene $a+b=d.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the circumradius is $r,$ the three chords subtend central angles $40^\circ,$ $80^\circ,$ $160^\circ,$ respectively. Thus $\begin{aligned} a&=2r\sin20^\circ,\\ b&=2r\sin40^\circ,\\ d&=2r\sin80^\circ. \end{aligned}$ The sum-to-product identity gives $\begin{gathered} \sin20^\circ+\sin40^\circ\\ =2\sin30^\circ\cos10^\circ\\ =\cos10^\circ=\sin80^\circ. \end{gathered}$ Multiplying by $2r$ yields $a+b=d.$

Therefore, the correct answer is A.