Question

¿Cuántos enteros de cuatro cifras distintas hay entre $1{,}000$ y $9{,}999$ tales que el valor absoluto de la diferencia entre la primera cifra y la última sea $2$ ?

How many integers with four different digits are there between $1{,}000$ and $9{,}999$ such that the absolute value of the difference between the first digit and the last digit is $2?$

$672$

$784$

$840$

$896$

$1{,}008$

Respuesta: C

Conceptos:dígitos conteo básico análisis por casos

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Cuenta primero los pares ordenados permitidos de primera y última cifra

First count the allowed ordered pairs of first and last digits

Pista grande:

Una vez fijadas esas cifras, elige dos cifras centrales distintas entre las ocho restantes

Once those digits are fixed, choose two distinct middle digits from the remaining eight

Solución:

Para las primeras cifras $1,\ldots,9,$ la cantidad de últimas cifras posibles que difieren en $2$ es $1+1+2+2+2$ más $2+2+1+1,$ es decir, $14.$ Además, un número cuya primera cifra es $2$ puede terminar en $0,$ lo que da $15$ pares de cifras extremas. Las cifras centrales se pueden elegir entonces de $8\cdot7$ maneras ordenadas. Por tanto, la cantidad es $15\cdot56=840.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For leading digits $1,\ldots,9,$ the number of possible last digits differing by $2$ is $1+1+2+2+2$ plus $2+2+1+1,$ or $14.$ In addition, leading digit $2$ may end in $0,$ giving $15$ endpoint pairs. The middle digits can then be chosen in $8\cdot7$ ordered ways. Thus the count is $15\cdot56=840.$

Therefore, the correct answer is C.

1982 AMC 12 Problema 11

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años