Question

El ortocentro de un triángulo es la intersección concurrente de las tres alturas (posiblemente extendidas). ¿Cuál es la suma de las coordenadas del ortocentro del triángulo cuyos vértices son $A(2, 31),$ $B(8, 27),$ y $C(18, 27)$ ?

The orthocenter of a triangle is the concurrent intersection of the three (possibly extended) altitudes. What is the sum of the coordinates of the orthocenter of the triangle whose vertices are $A(2, 31),$ $B(8, 27),$ and $C(18, 27)?$

$5$

$17$

$10 + 4\sqrt{17} + 2\sqrt{13}$

$\dfrac{113}{3}$

$54$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica altura pendiente

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

$B$ y $C$ comparten $y = 27,$ así que la altura desde $A$ es la recta vertical $x = 2$

$B$ and $C$ share $y = 27,$ so the altitude from $A$ is the vertical line $x = 2$

Pista grande:

La altura desde $B$ es perpendicular a $AC$ ; intersécala con $x = 2$

The altitude from $B$ is perpendicular to $AC$ ; intersect it with $x = 2$

Solución:

Como $B$ y $C$ tienen ambos $y = 27,$ el lado $BC$ es horizontal y la altura desde $A$ es la recta vertical $x = 2.$

El lado $AC$ tiene pendiente $\dfrac{27 - 31}{18 - 2} = -\dfrac{1}{4},$ así que la altura desde $B$ tiene pendiente $4$ : $y - 27 = 4(x - 8).$

En $x = 2,$ $y = 27 + 4(2 - 8) = 3.$ El ortocentro es $(2, 3),$ con suma de coordenadas $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $B$ and $C$ both have $y = 27,$ side $BC$ is horizontal and the altitude from $A$ is the vertical line $x = 2.$

Side $AC$ has slope $\dfrac{27 - 31}{18 - 2} = -\dfrac{1}{4},$ so the altitude from $B$ has slope $4$ : $y - 27 = 4(x - 8).$

At $x = 2,$ $y = 27 + 4(2 - 8) = 3.$ The orthocenter is $(2, 3),$ with coordinate sum $5.$

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12A Problema 11

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años