Question

La media armónica de una colección de números es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los números de la colección. Por ejemplo, la media armónica de $4,$ $4,$ y $5$ es $\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.$ ¿Cuál es la media armónica de todas las raíces reales del polinomio de grado $4050$ $\begin{aligned} &\small \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ &= (x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ &\quad (2025x^2 - 4x - 3)? \end{aligned}$

The harmonic mean of a collection of numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of the reciprocals of the numbers in the collection. For example, the harmonic mean of $4,$ $4,$ and $5$ is $\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.$ What is the harmonic mean of all the real roots of the $4050$ th degree polynomial $\begin{aligned} &\small \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ &= (x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ &\quad (2025x^2 - 4x - 3)? \end{aligned}$

$-\dfrac{5}{3}$

$-\dfrac{3}{2}$

$-\dfrac{6}{5}$

$-\dfrac{5}{6}$

$-\dfrac{2}{3}$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática media armónica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La media armónica es $\dfrac{N}{\sum \frac{1}{r}},$ donde $N$ es el número de raíces

The harmonic mean is $\dfrac{N}{\sum \frac{1}{r}},$ where $N$ is the number of roots

Pista grande:

Para $kx^2 - 4x - 3,$ las dos raíces tienen suma de recíprocos $\dfrac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\dfrac{4}{3},$ la misma para todo $k$

For $kx^2 - 4x - 3,$ the two roots have reciprocal-sum $\dfrac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\dfrac{4}{3},$ the same for every $k$

Solución:

Cada factor $kx^2 - 4x - 3$ tiene discriminante $16 + 12k \gt 0,$ así que tiene dos raíces reales; en total hay $4050$ raíces.

Para las raíces de $kx^2 - 4x - 3,$ la suma de los recíprocos es $\dfrac{\text{suma}}{\text{producto}} = \dfrac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\dfrac{4}{3},$ independiente de $k.$

Sumando sobre los $2025$ factores, $\displaystyle\sum \frac{1}{r} = 2025\left(-\frac{4}{3}\right) = -2700.$ La media armónica es $\frac{4050}{-2700} = -\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each factor $kx^2 - 4x - 3$ has discriminant $16 + 12k \gt 0,$ so it has two real roots; there are $4050$ roots in all.

For the roots of $kx^2 - 4x - 3,$ the sum of reciprocals is $\dfrac{\text{sum}}{\text{product}} = \dfrac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\dfrac{4}{3},$ independent of $k.$

Summing over all $2025$ factors, $\displaystyle\sum \frac{1}{r} = 2025\left(-\frac{4}{3}\right) = -2700.$ The harmonic mean is $\frac{4050}{-2700} = -\frac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

2025 AMC 12A Problema 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años