Question

¿Cuál es el número de términos con coeficientes racionales entre los $1001$ términos en la expansión de $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?$

What is the number of terms with rational coefficients among the $1001$ terms in the expansion of $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?$

$0$

$166$

$167$

$500$

$501$

Solución:

El término general es $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},$ cuyo coeficiente contiene $2^{(1000-k)/3}$ y $3^{k/2}.$ Esto es racional exactamente cuando $3 \mid (1000 - k)$ y $k$ es par.

Como $1000 \equiv 1 \pmod 3,$ necesitamos $k \equiv 1 \pmod 3$ y $k$ par, lo que se combina en $k \equiv 4 \pmod 6.$ Los valores válidos $k = 4, 10, \ldots, 1000$ suman $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The general term is $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},$ whose coefficient contains $2^{(1000-k)/3}$ and $3^{k/2}.$ This is rational exactly when $3 \mid (1000 - k)$ and $k$ is even.

Since $1000 \equiv 1 \pmod 3,$ we need $k \equiv 1 \pmod 3$ and $k$ even, which combine to $k \equiv 4 \pmod 6.$ The valid values $k = 4, 10, \ldots, 1000$ number $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Fall Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años