Question

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son los enteros $a,\ 720,$ y $b,$ donde $a\lt720\lt b.$ ¿Cuál es la suma de las cifras del menor valor posible de $b$ ?

The first three terms of a geometric sequence are the integers $a,\ 720,$ and $b,$ where $a\lt720\lt b.$ What is the sum of the digits of the least possible value of $b?$

$9$

$12$

$16$

$18$

$21$

Solución:

Como los términos son geométricos, $720^2=ab,$ así que $ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.$ Como $b=518400/a,$ minimizar $b$ significa maximizar el divisor $a$ sujeto a $a\lt720.$ El mayor divisor de ese tipo es $a=675=3^3\cdot5^2,$ lo que da $b=518400/675=768.$ Su suma de cifras es $7+6+8=21.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since the terms are geometric, $720^2=ab,$ so $ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.$ Because $b=518400/a,$ minimizing $b$ means maximizing the divisor $a$ subject to $a\lt720.$ The largest such divisor is $a=675=3^3\cdot5^2,$ giving $b=518400/675=768.$ Its digit sum is $7+6+8=21.$ Thus, the correct answer is E.

2024 AMC 12A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años