Question

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son los enteros $a,$ $720,$ y $b,$ donde $a\lt720\lt b.$ ¿Cuál es la suma de las cifras del menor valor posible de $b$ ?

The first three terms of a geometric sequence are the integers $a,$ $720,$ and $b,$ where $a\lt720\lt b.$ What is the sum of the digits of the least possible value of $b?$

$9$

$12$

$16$

$18$

$21$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica factor optimización

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El término central da $720^2=ab,$ así que $ab=518400$

The middle term gives $720^2=ab,$ so $ab=518400$

Pista grande:

Para minimizar $b,$ toma el mayor divisor $a\lt720$ de $518400$

To minimize $b,$ take the largest divisor $a\lt720$ of $518400$

Solución:

Como los términos son geométricos, $720^2=ab,$ así que $ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.$ Como $b=\frac{518400}{a},$ minimizar $b$ significa encontrar el menor divisor de $518400$ mayor que $720.$ No hay divisor estrictamente entre $720$ y $768:$ si su exponente de $5$ es $2,1,$ o $0,$ entonces, tras dividir entre $25,5,$ o $1,$ respectivamente, un número de la forma $2^i3^j$ tendría que estar en $(28.8,30.72),\ (144,153.6),$ o $(720,768);$ las potencias permitidas $i\le8,j\le4$ no dan ninguno. Como $768=2^8\cdot3$ es divisor, es el menor $b$ posible. Su divisor emparejado es $a=\frac{518400}{768}=675,$ y la suma de dígitos de $b$ es $7+6+8=21.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since the terms are geometric, $720^2=ab,$ so $ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.$ Because $b=\frac{518400}{a},$ minimizing $b$ means finding the smallest divisor of $518400$ greater than $720.$ There is no divisor strictly between $720$ and $768:$ if its exponent of $5$ is $2,1,$ or $0,$ then after dividing by $25,5,$ or $1,$ respectively, a number of the form $2^i3^j$ would have to lie in $(28.8,30.72),\ (144,153.6),$ or $(720,768);$ the allowed powers $i\le8,j\le4$ give none. Since $768=2^8\cdot3$ is a divisor, it is the least possible $b.$ Its paired divisor is $a=\frac{518400}{768}=675,$ and the digit sum of $b$ is $7+6+8=21.$ Thus, the correct answer is E.

2024 AMC 12A Problema 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años