Question

Todas las raíces del polinomio $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de $B$ ?

All the roots of the polynomial $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ are positive integers, possibly repeated. What is the value of $B?$

$-88$

$-80$

$-64$

$-41$

$-40$

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, las seis raíces suman $10$ (el opuesto del coeficiente de $z^5$ ) y multiplican $16$ . Seis enteros positivos con suma $10$ y producto $16$ deben ser $2, 2, 2, 2, 1, 1$ .

Así que el polinomio es $(z - 1)^2 (z - 2)^4$ . Desarrollando, $\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}$ El coeficiente de $z^3$ es $B = -88$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta's formulas the six roots sum to $10$ (the negative of the $z^5$ coefficient) and multiply to $16.$ Six positive integers with sum $10$ and product $16$ must be $2, 2, 2, 2, 1, 1.$

So the polynomial is $(z - 1)^2 (z - 2)^4.$ Expanding, $\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}$ The coefficient of $z^3$ is $B = -88.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12A Spring Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años