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2021 AMC 12A Spring Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2021 AMC 12A Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Todas las raíces del polinomio z6−10z5+Az4z^6 - 10z^5 + Az^4 +Bz3+Cz2+Dz+16+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16 son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de BB?

All the roots of the polynomial z6−10z5+Az4z^6 - 10z^5 + Az^4 +Bz3+Cz2+Dz+16+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16 are positive integers, possibly repeated. What is the value of B?B?

−88-88

−80-80

−64-64

−41-41

−40-40

Respuesta: A
Conceptos:Fórmulas de Vietapolinomio
Nivel de dificultad: 1710
Pista pequeña:

Las seis raíces enteras positivas suman 1010 y multiplican 16;16; encuentra el multiconjunto.

The six positive integer roots sum to 1010 and multiply to 16;16; find the multiset

Pista grande:

Las raíces son 2,2,2,2,1,1;2, 2, 2, 2, 1, 1; BB es igual a −1-1 por la suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres.

The roots are 2,2,2,2,1,1;2, 2, 2, 2, 1, 1; BB equals −1-1 times the sum of products of the roots taken three at a time

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, las seis raíces suman 1010 (el opuesto del coeficiente de z5z^5) y su producto es 16.16. Por tanto, cada raíz es una potencia 2ei,2^{e_i}, con ∑ei=4.\sum e_i=4. Como 2ei≥1+ei,2^{e_i}\ge 1+e_i, la suma de las raíces es al menos 6+4=10.6+4=10. La igualdad ocurre solo cuando cada eie_i es 00 o 1,1, así que las raíces deben ser 2,2,2,2,1,1.2,2,2,2,1,1.

El polinomio es entonces (z−1)2(z−2)4.(z - 1)^2 (z - 2)^4. Al desarrollar, (z2−2z+1)⋅(z4−8z3+24z2−32z+16)=z6−10z5+41z4−88z3+104z2−64z+16. \begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned} El coeficiente de z3z^3 es B=−88.B = -88.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta’s formulas the six roots sum to 1010 (the negative of the z5z^5 coefficient) and multiply to 16.16. Thus every root is a power 2ei,2^{e_i}, with ∑ei=4.\sum e_i=4. Since 2ei≥1+ei,2^{e_i}\ge 1+e_i, the roots have sum at least 6+4=10.6+4=10. Equality holds only when every eie_i is 00 or 1,1, so the roots must be 2,2,2,2,1,1.2,2,2,2,1,1.

So the polynomial is (z−1)2(z−2)4.(z - 1)^2 (z - 2)^4. Expanding, (z2−2z+1)⋅(z4−8z3+24z2−32z+16)=z6−10z5+41z4−88z3+104z2−64z+16. \begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned} The coefficient of z3z^3 is B=−88.B = -88.

Thus, the correct answer is A.

Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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