Question

La ecuación cuadrática $x^2 + mx + n = 0$ tiene raíces que son el doble de las de $x^2 + px + m = 0,$ y ninguno de $m,$ $n,$ y $p$ es cero. ¿Cuál es el valor de $\dfrac{n}{p}$ ?

The quadratic equation $x^2 + mx + n = 0$ has roots that are twice those of $x^2 + px + m = 0,$ and none of $m,$ $n,$ and $p$ is zero. What is the value of $\dfrac{n}{p}?$

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Sea $r_1, r_2$ las raíces de $x^2 + px + m = 0$ ; la otra ecuación tiene raíces $2r_1, 2r_2$ .

Let $r_1, r_2$ be the roots of $x^2 + px + m = 0$ ; the other equation has roots $2r_1, 2r_2$

Pista grande:

Escribe $m, n, p$ en términos de $r_1 r_2$ y $r_1 + r_2$ usando las fórmulas de Vieta.

Write $m, n, p$ in terms of $r_1 r_2$ and $r_1 + r_2$ using Vieta’s formulas

Solución:

Sean $r_1$ y $r_2$ las raíces de $x^2 + px + m = 0,$ así que $m = r_1 r_2$ y $p = -(r_1 + r_2).$

Las raíces de $x^2 + mx + n = 0$ son $2r_1$ y $2r_2,$ así que $n = 4r_1 r_2$ y $m = -2(r_1 + r_2).$

Entonces $n = 4m$ y $m = 2p,$ lo que da $p = \dfrac{m}{2},$ así que $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $r_1$ and $r_2$ be the roots of $x^2 + px + m = 0,$ so $m = r_1 r_2$ and $p = -(r_1 + r_2).$

The roots of $x^2 + mx + n = 0$ are $2r_1$ and $2r_2,$ so $n = 4r_1 r_2$ and $m = -2(r_1 + r_2).$

Then $n = 4m$ and $m = 2p,$ which gives $p = \dfrac{m}{2},$ so $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12B Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años