Question

La solución de $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2$ es:

The solution of $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2$ is:

$x=2,$ $x=1$

$x=\dfrac23$

$x=2$

$x=1$

$x=0$

Respuesta: D

Conceptos:radical equation domain extraneous roots

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

La restricción del dominio real de $\sqrt{x-1}$ da $x\ge1$

The real-domain restriction $\sqrt{x-1}$ gives $x\ge1$

Pista grande:

Prueba el extremo más sencillo antes de elevar al cuadrado la ecuación

Test the simplest endpoint before squaring the equation

Solución:

El dominio exige $x\ge1.$ Para $x=1,$ el lado izquierdo es $2+0=2,$ así que $x=1$ funciona. Para ver que no hay otra solución, observa que ambos radicales son no decrecientes cuando $x\ge1,$ y $\sqrt{5x-1}$ es estrictamente creciente. Por lo tanto, la suma es mayor que $2$ para todo $x>1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The domain requires $x\ge1.$ At $x=1,$ the left side is $2+0=2,$ so $x=1$ works. To see that there is no other solution, note that both radicals are nondecreasing for $x\ge1,$ and $\sqrt{5x-1}$ is strictly increasing. Therefore the sum exceeds $2$ for every $x>1.$

Thus, the correct answer is D.

1955 AMC 12 Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años