Question

Las ecuaciones de $L_1$ y $L_2$ son $y=mx$ y $y=nx,$ respectivamente. Supón que $L_1$ forma con la horizontal un ángulo dos veces mayor (medido en sentido antihorario desde el eje $x$ positivo) que el de $L_2,$ y que $L_1$ tiene $4$ veces la pendiente de $L_2.$ Si $L_1$ no es horizontal, entonces $mn$ es

The equations of $L_1$ and $L_2$ are $y=mx$ and $y=nx,$ respectively. Suppose $L_1$ makes twice as large an angle with the horizontal (measured counterclockwise from the positive $x$ -axis) as does $L_2,$ and that $L_1$ has $4$ times the slope of $L_2.$ If $L_1$ is not horizontal, then $mn$ is

$\frac{\sqrt2}{2}$

$-\frac{\sqrt2}{2}$

$2$

$-2$

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:pendiente identidad trigonométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea $\theta$ el ángulo de inclinación de $L_2$

Let the angle of inclination of $L_2$ be $\theta$

Pista grande:

Sustituye $m=4n$ en $\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

Substitute $m=4n$ into $\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

Solución:

Sea $\tan\theta=n.$ Entonces $m=\tan(2\theta)$ y también $m=4n.$ Por lo tanto, $4n=\frac{2n}{1-n^2}.$ La condición de que no sea horizontal da $n\ne0,$ así que $2(1-n^2)=1,$ o $n^2=\frac{1}{2}.$ Por consiguiente, $mn=4n^2=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\tan\theta=n.$ Then $m=\tan(2\theta)$ and also $m=4n.$ Hence $4n=\frac{2n}{1-n^2}.$ The nonhorizontal condition gives $n\ne0,$ so $2(1-n^2)=1,$ or $n^2=\frac{1}{2}.$ Thus $mn=4n^2=2.$

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 Problema 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años