Question

La parábola $y = ax^2 + bx + c$ tiene vértice $(p, p)$ e intersección con el eje $y$ en $(0, -p),$ donde $p \neq 0.$ ¿Cuánto vale $b$ ?

The parabola $y = ax^2 + bx + c$ has vertex $(p, p)$ and $y$ -intercept $(0, -p),$ where $p \neq 0.$ What is $b?$

$-p$

$0$

$2$

$4$

$p$

Escribe la parábola en forma canónica $y = a(x - p)^2 + p$ .

Write the parabola in vertex form $y = a(x - p)^2 + p$

Usa la intersección con el eje $y$ para hallar $a$ en términos de $p,$ y luego lee el coeficiente de $x$ .

Use the $y$ -intercept to find $a$ in terms of $p,$ then read off the coefficient of $x$

La forma canónica es $y = a(x - p)^2 + p.$

En $x = 0,$ $y = ap^2 + p = -p,$ así que $ap^2 = -2p$ y $a = -\dfrac{2}{p}.$

Al desarrollar, $y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,$ así que $b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The vertex form is $y = a(x - p)^2 + p.$

At $x = 0,$ $y = ap^2 + p = -p,$ so $ap^2 = -2p$ and $a = -\dfrac{2}{p}.$

Expanding, $y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,$ so $b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.$

Thus, the correct answer is D.