Question

Kayla lanza cuatro dados justos de $6$ caras. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los números que obtiene sea mayor que $4$ y al menos dos de los números que obtiene sean mayores que $2$ ?

Kayla rolls four fair $6$ -sided dice. What is the probability that at least one of the numbers Kayla rolls is greater than $4$ and at least two of the numbers she rolls are greater than $2?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{19}{27}$

$\dfrac{59}{81}$

$\dfrac{61}{81}$

$\dfrac{7}{9}$

Respuesta: D

Conceptos:dados (probabilidad)conteo complementario inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Clasifica cada dado en bajo $\{1,2\},$ medio $\{3,4\},$ o alto $\{5,6\},$ cada uno con probabilidad $\tfrac13$ .

Sort each die into low $\{1,2\},$ mid $\{3,4\},$ or high $\{5,6\},$ each with probability $\tfrac13$

Pista grande:

Necesitas al menos un dado alto y al menos dos dados que no sean bajos; cuenta los patrones de categorías buenos de entre $3^4$ .

You need at least one high die and at least two dice that are not low; count the good category patterns out of $3^4$

Solución:

Clasifica cada dado en bajo $\{1,2\},$ medio $\{3,4\},$ o alto $\{5,6\};$ cada uno tiene probabilidad $\tfrac13,$ así que los $3^4 = 81$ patrones de categorías son equiprobables.

Necesitamos al menos un dado alto (un número mayor que $4$ ) y al menos dos dados que sean mayores que $2$ (medio o alto). Los dos eventos malos son no tener ningún dado alto y tener a lo sumo un dado no bajo.

Hay $2^4 = 16$ patrones sin ningún dado alto, $9$ patrones con a lo sumo un dado no bajo, y $5$ patrones que no tienen ni un dado alto ni dos dados no bajos. Por inclusión-exclusión, el número de patrones buenos es $81 - 16 - 9 + 5 = 61.$

La probabilidad es $\dfrac{61}{81}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Sort each die into low $\{1,2\},$ mid $\{3,4\},$ or high $\{5,6\};$ each has probability $\tfrac13,$ so the $3^4 = 81$ category patterns are equally likely.

We need at least one high die (a number greater than $4$ ) and at least two dice that are greater than $2$ (mid or high). The two bad events are having no high die and having at most one non-low die.

There are $2^4 = 16$ patterns of the first kind, $9$ of the second kind, and $5$ in their intersection. By inclusion-exclusion the count of good patterns is $81 - 16 - 9 + 5 = 61.$

The probability is $\dfrac{61}{81}.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12B Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años