Question

El diagrama de abajo muestra un rectángulo de lados $4$ y $8$ y un cuadrado de lado $5.$ Tres vértices del cuadrado están sobre tres lados diferentes del rectángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región que está dentro tanto del cuadrado como del rectángulo?

The diagram below shows a rectangle with side lengths $4$ and $8$ and a square with side length $5.$ Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

$15\dfrac18$

$15\dfrac38$

$15\dfrac12$

$15\dfrac58$

$15\dfrac78$

Solución:

Coloca el rectángulo como $[0,8] \times [0,4].$ El cuadrado inclinado, usando los triángulos rectángulos $3$ - $4$ - $5$ , tiene vértices $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(3, 7),$ y $(7, 4).$

Todo el cuadrado está dentro del rectángulo salvo el triángulo que sobresale por encima del borde superior $y = 4.$ Ese triángulo tiene vértices $(0.75, 4),$ $(3, 7),$ y $(7, 4),$ con área $\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.$

La región que está en ambos es $25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the rectangle as $[0,8] \times [0,4].$ The tilted square, using the $3$ - $4$ - $5$ right triangles, has vertices $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(3, 7),$ and $(7, 4).$

The entire square lies inside the rectangle except for the triangle poking above the top edge $y = 4.$ That triangle has vertices $(0.75, 4),$ $(3, 7),$ and $(7, 4),$ with area $\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.$

The region inside both is $25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años