Question

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo con $\angle BAC = 70^\circ,$ $\angle ADB = 40^\circ,$ $AD = 4,$ y $BC = 6.$ ¿Cuánto es $AC$ ?

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with $\angle BAC = 70^\circ,$ $\angle ADB = 40^\circ,$ $AD = 4,$ and $BC = 6.$ What is $AC?$

$3 + \sqrt5$

$6$

$\dfrac92\sqrt2$

$8 - \sqrt2$

$7$

Los ángulos $BAC$ y $BDC$ subtienden el arco $BC,$ así que $\angle BDC = 70^\circ.$ Entonces $\angle ADC = \angle ADB$ $+ \angle BDC = 110^\circ.$

Como $ABCD$ es cíclico, $\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ $= \angle BAC.$ Así $\triangle ABC$ es isósceles con $AC = BC = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Angles $BAC$ and $BDC$ subtend arc $BC,$ so $\angle BDC = 70^\circ.$ Then $\angle ADC = \angle ADB$ $+ \angle BDC = 110^\circ.$

Since $ABCD$ is cyclic, $\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ $= \angle BAC.$ Thus $\triangle ABC$ is isosceles with $AC = BC = 6.$

Thus, the correct answer is B.