Question

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 13$ y $AC = 15,$ y la altura sobre $BC$ mide $12.$ ¿Cuál es la suma de los dos valores posibles de $BC$ ?

Triangle $ABC$ has $AB = 13$ and $AC = 15,$ and the altitude to $BC$ has length $12.$ What is the sum of the two possible values of $BC?$

$15$

$16$

$17$

$18$

$19$

Sea $D$ el pie de la altura desde $A.$ Entonces $BD = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ y $DC = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9.$

Si $D$ está entre $B$ y $C,$ entonces $BC = 5 + 9 = 14$ ; si el triángulo es obtuso, $BC = 9 - 5 = 4.$ La suma es $14 + 4 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $D$ be the foot of the altitude from $A.$ Then $BD = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ and $DC = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9.$

If $D$ lies between $B$ and $C,$ then $BC = 5 + 9 = 14$ ; if the triangle is obtuse, $BC = 9 - 5 = 4.$ The sum is $14 + 4 = 18.$

Thus, the correct answer is D.