Question

En la estrella de cinco puntas mostrada, las letras $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ y $E$ se reemplazan por los números $3, 5, 6, 7,$ y $9,$ aunque no necesariamente en ese orden. Las sumas de los números en los extremos de los segmentos $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ y $EA$ forman una progresión aritmética, aunque no necesariamente en ese orden. ¿Cuál es el término central de la progresión aritmética?

In the five-sided star shown, the letters $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are replaced by the numbers $3, 5, 6, 7,$ and $9,$ although not necessarily in that order. The sums of the numbers at the ends of the line segments $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ and $EA$ form an arithmetic sequence, although not necessarily in that order. What is the middle term of the arithmetic sequence?

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Solución:

Cada número aparece como extremo de exactamente dos de los cinco segmentos, por lo que el total de las cinco sumas es $2(3 + 5 + 6 + 7 + 9) = 60.$

El término central de una progresión aritmética de cinco términos es su media, es decir $60 \div 5 = 12.$

Así, la respuesta correcta es D.

Every number appears as an endpoint of exactly two of the five segments, so the total of the five sums is $2(3 + 5 + 6 + 7 + 9) = 60.$

The middle term of a five-term arithmetic sequence is its mean, namely $60 \div 5 = 12.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años