Question

El triángulo $ABC$ tiene longitudes de lados $AB = 12,$ $BC = 24,$ y $AC = 18.$ La recta que pasa por el incentro de $\triangle ABC$ paralela a $\overline{BC}$ corta a $\overline{AB}$ en $M$ y a $\overline{AC}$ en $N.$ ¿Cuál es el perímetro de $\triangle AMN$ ?

Triangle $ABC$ has side-lengths $AB = 12,$ $BC = 24,$ and $AC = 18.$ The line through the incenter of $\triangle ABC$ parallel to $\overline{BC}$ intersects $\overline{AB}$ at $M$ and $\overline{AC}$ at $N.$ What is the perimeter of $\triangle AMN?$

$27$

$30$

$33$

$36$

$42$

Solución:

Sea $I$ el incentro. Como $\overline{BI}$ biseca $\angle B$ y $MN \parallel BC,$ los ángulos alternos dan $\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,$ así que $\triangle MBI$ es isósceles con $MB = MI.$ De manera similar $NC = NI.$

Por lo tanto el perímetro de $\triangle AMN$ es $\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $I$ be the incenter. Because $\overline{BI}$ bisects $\angle B$ and $MN \parallel BC,$ alternate angles give $\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,$ so $\triangle MBI$ is isosceles with $MB = MI.$ Similarly $NC = NI.$

Therefore the perimeter of $\triangle AMN$ is $\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años