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2014 AMC 12B Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2014 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Se eligen números reales aa y bb con 1<a<b1 \lt a \lt b de modo que ningún triángulo de área positiva tenga longitudes de lado 1,1, a,a, y bb o 1b,\tfrac1b, 1a,\tfrac1a, y 1.1. ¿Cuál es el menor valor posible de bb?

Real numbers aa and bb are chosen with 1<a<b1 \lt a \lt b such that no triangle with positive area has side lengths 1,1, a,a, and bb or 1b,\tfrac1b, 1a,\tfrac1a, and 1.1. What is the smallest possible value of b?b?

3+32\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}

52\dfrac{5}{2}

3+52\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}

3+62\dfrac{3+\sqrt{6}}{2}

33

Respuesta: C
Conceptos:desigualdad triangularcuadráticaacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1870
Pista pequeña:

Con 1<a<b,1 \lt a \lt b, que no exista un triángulo 1,a,b1, a, b significa b≥a+1b \ge a+1.

With 1<a<b,1 \lt a \lt b, no triangle 1,a,b1, a, b means b≥a+1b \ge a+1

Pista grande:

Que no exista un triángulo 1b,1a,1\tfrac1b, \tfrac1a, 1 significa 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, es decir a≤bb−1a \le \tfrac{b}{b-1}.

No triangle 1b,1a,1\tfrac1b, \tfrac1a, 1 means 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, i.e. a≤bb−1a \le \tfrac{b}{b-1}

Solución:

Como bb es el mayor de 1,a,b,1, a, b, no existe tal triángulo exactamente cuando b≥a+1.b \ge a+1. Como 11 es el mayor de 1b,1a,1,\tfrac1b, \tfrac1a, 1, no existe tal triángulo exactamente cuando 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, es decir a≤bb−1.a \le \tfrac{b}{b-1}.

Ambas condiciones se cumplen con bb mínimo cuando a+1=ba+1 = b y a=bb−1a = \tfrac{b}{b-1} coinciden, lo que da b−1=bb−1,b - 1 = \tfrac{b}{b-1}, o sea b2−3b+1=0.b^2 - 3b + 1 = 0.

La raíz mayor que 11 es b=3+52.b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since bb is the largest of 1,a,b,1, a, b, no such triangle exists exactly when b≥a+1.b \ge a+1. Since 11 is the largest of 1b,1a,1,\tfrac1b, \tfrac1a, 1, no such triangle exists exactly when 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, that is a≤bb−1.a \le \tfrac{b}{b-1}.

Both conditions hold with bb smallest when a+1=ba+1 = b and a=bb−1a = \tfrac{b}{b-1} meet, giving b−1=bb−1,b - 1 = \tfrac{b}{b-1}, or b2−3b+1=0.b^2 - 3b + 1 = 0.

The root larger than 11 is b=3+52.b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Thus, the correct answer is C.

Problema 12#12
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Problema 14#14

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